Question

9．在豎直平面內(nèi)，以虛線為界分布著如圖所示的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其中勻強(qiáng)電場(chǎng)的方向豎直向下，大小為E；勻強(qiáng)磁場(chǎng)的方向垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．虛線與水平線之間的夾角為θ=45°，一個(gè)帶負(fù)電荷的粒子在O點(diǎn)以速度v₀水平射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，已知帶電粒子所帶的電荷量為q，質(zhì)量為m（重力忽略不計(jì)，電場(chǎng)、磁場(chǎng)區(qū)域足夠大）．求：
（1）帶電粒子第1次通過虛線時(shí)距O點(diǎn)的距離；
（2）帶電粒子從O點(diǎn)開始到第3次通過虛線時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間；
（3）帶電粒子第4次通過虛線時(shí)距O點(diǎn)的距離．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在磁場(chǎng)中受到洛倫茲力作用做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫出軌跡，由牛頓第二定律求出軌跡半徑，由幾何知識(shí)求出電粒子第1次通過虛線時(shí)距O點(diǎn)的距離．
（2）根據(jù)軌跡，確定出帶電粒子在磁場(chǎng)中軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角，求出時(shí)間．在電場(chǎng)中，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求出時(shí)間，即可得到總時(shí)間．
（3）帶電粒子第3次通過虛線進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)做類平拋運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出粒子第4次通過虛線時(shí)距O點(diǎn)的距離．

解答 解：如圖所示：
（1）由qvB=m$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{r}$得：r=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$
由幾何知識(shí)得：x=$\sqrt{2}$r=$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qB}$
（2）根據(jù)軌跡得知帶電粒子第1次軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角等于90°
在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t₁=$\frac{1}{4}$T=$\frac{πm}{2qB}$
在電場(chǎng)中有：a=$\frac{qE}{m}$
運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t₂=$\frac{2{v}_{0}}{a}$=$\frac{2m{v}_{0}}{qE}$
再一次在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t₃=$\frac{3}{4}$T=$\frac{3πm}{2qB}$
所以總時(shí)間為：t=$\frac{2πm}{qB}$+$\frac{2m{v}_{0}}{qE}$
（3）再次進(jìn)入電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)
x₂=v₀t₄
y=$\frac{1}{2}$at₄²
又 x₂=y
得：x₂=$\frac{2m{{v}_{0}}^{2}}{qE}$
所以距離O點(diǎn)距離為：△x=$\frac{2\sqrt{2}m{v}_{0}}{qB}$-$\frac{2\sqrt{2}m{{v}_{0}}^{2}}{qE}$
答：（1）帶電粒子第1次通過虛線時(shí)距O點(diǎn)的距離為$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qB}$；
（2）帶電粒子從O點(diǎn)開始到第3次通過虛線時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間$\frac{2πm}{qB}$+$\frac{2m{v}_{0}}{qE}$；
（3）帶電粒子第4次通過虛線時(shí)距O點(diǎn)的距離$\frac{2\sqrt{2}m{v}_{0}}{qB}$-$\frac{2\sqrt{2}m{{v}_{0}}^{2}}{qE}$．

點(diǎn)評(píng) 本題的解題關(guān)鍵是畫出軌跡，根據(jù)幾何知識(shí)求出距離與半徑，確定軌跡的圓心角，計(jì)算時(shí)間與周期的關(guān)系．