Question

1．在水平圓盤上有一過(guò)圓心的光滑水平槽，槽內(nèi)有兩根原長(zhǎng)、勁度系數(shù)均相同的橡皮繩拉住一質(zhì)量為m的小球，一條橡皮繩拴在O點(diǎn)，另一條拴在O′點(diǎn)，其中O點(diǎn)為圓盤的中心，O′點(diǎn)為圓盤的邊緣．橡皮繩的勁度系數(shù)為k，原長(zhǎng)為圓盤半徑R的$\frac{1}{3}$．現(xiàn)使圓盤角速度由零緩慢增大，求：
（1）圓盤的角速度ω₀為多大時(shí)，外側(cè)橡皮繩恰好無(wú)拉力．
（2）圓盤的角速度ω₁=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{k}{m}}$與ω₂=$\sqrt{\frac{11k}{18m}}$時(shí)，小球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑之比r₁：r₂．

Answer 1

分析 （1）外側(cè)橡皮繩無(wú)拉力時(shí)，靠?jī)?nèi)側(cè)繩的拉力提供向心力，結(jié)合牛頓第二定律和胡克定律求出圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度大�。�
（2）根據(jù)牛頓第二定律和胡克定律，抓住合力提供向心力求出半徑之比．

解答 解：（1）當(dāng)圓盤的角速度為ω₀時(shí)，外側(cè)橡皮繩恰好無(wú)拉力，
則有：$k（\frac{2}{3}R-\frac{1}{3}R）=m\frac{2}{3}R{{ω}_{0}}^{2}$，
可得${ω}_{0}=\sqrt{\frac{k}{2m}}$．
（2）當(dāng)$ω={ω}_{1}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{m}}＜{ω}_{0}$，故兩繩均有拉力，
設(shè)此時(shí)半徑為r₁，則有：
$k（{r}_{1}-\frac{R}{3}）-k（R-{r}_{1}-\frac{R}{3}）=m{r}_{1}{{ω}_{1}}^{2}$，
解得${r}_{1}=\frac{4}{7}R$，
當(dāng)$ω={ω}_{2}=\sqrt{\frac{11k}{18m}}＞{ω}_{0}$，故右側(cè)繩無(wú)拉力，
設(shè)此時(shí)半徑為r₂，則有：
$k（{r}_{2}-\frac{R}{3}）=m{r}_{2}{{ω}_{2}}^{2}$，
解得${r}_{2}=\frac{6}{7}R$，
所以r₁：r₂=2：3．
答：（1）圓盤的角速度ω₀為$\sqrt{\frac{k}{2m}}$時(shí)，外側(cè)橡皮繩恰好無(wú)拉力．
（2）圓盤的角速度ω₁=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{k}{m}}$與ω₂=$\sqrt{\frac{11k}{18m}}$時(shí)，小球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑之比r₁：r₂為2：3．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源，結(jié)合牛頓第二定律和胡克定律綜合求解，難度中等．