Question

10．據(jù)報(bào)道，美國國家航空航天局（NASA）首次在太陽系外發(fā)現(xiàn)“類地”行星Kepler-186f．若宇航員乘坐宇宙飛船到達(dá)該行星，進(jìn)行科學(xué)觀測(cè)：該行星自轉(zhuǎn)周期為T；宇航員在該行星“北極”距該行星地面附近h處自由釋放一個(gè)小球（引力視為恒力），落地時(shí)間為t．已知該行星半徑為R，萬有引力常量為G，則下列說法正確的是（　�。�

• A． 該行星的第一宇宙速度為$\frac{\sqrt{2hR}}{t}$
• B． 該行星的平均密度為$\frac{3h}{2GπR{t}^{2}}$
• C． 如果該行星存在一顆同步衛(wèi)星，其距行星表面高度為$\root{3}{\frac{h{T}^{2}{R}^{2}}{2{π}^{2}{t}^{2}}}$
• D． 宇宙飛船繞該星球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期小于πt$\sqrt{\frac{2R}{h}}$

Answer 1

分析 根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)的位移時(shí)間公式求出行星表面的重力加速度，結(jié)合重力提供向心力求出行星的第一宇宙速度；根據(jù)萬有引力等于重力求出行星的質(zhì)量，結(jié)合密度公式求出行星的平均密度；根據(jù)萬有引力提供向心力，求出行星同步衛(wèi)星的軌道半徑，從而得出衛(wèi)星距離行星的高度．根據(jù)重力提供向心力求出宇宙飛船的最小周期．

解答 解：A、根據(jù)h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得，行星表面的重力加速度g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$，根據(jù)mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$得，行星的第一宇宙速度v=$\sqrt{gR}$=$\frac{\sqrt{2hR}}{t}$，故A正確．
B、根據(jù)mg=$G\frac{Mm}{{R}^{2}}$得，行星的質(zhì)量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，則行星的平均密度ρ=$\frac{M}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}=\frac{3g}{4GπR}$=$\frac{3h}{2GπR{t}^{2}}$，故B正確．
C、根據(jù)$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，又GM=gR²，解得h=$\root{3}{\frac{h{T}^{2}{R}^{2}}{2{π}^{2}{t}^{2}}}$-R，故C錯(cuò)誤．
D、根據(jù)mg=$mR\frac{4{π}^{2}}{T{′}^{2}}$得，最小周期T′=πt$\sqrt{\frac{2R}{h}}$，故D錯(cuò)誤．
故選：AB．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力定律的兩個(gè)重要理論：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力，并能靈活運(yùn)用．