Question

4．如圖所示，質(zhì)量為M，半徑為R的鐵環(huán)放在光滑的平面上，另有質(zhì)量為m的小鐵球，以初速v₀從O出發(fā)，而OO′=$\frac{R}{2}$，則經(jīng)過多長時間小球?qū)⑴c鐵環(huán)發(fā)生第N次彈性碰撞？

Answer 1

分析 小球與鐵環(huán)碰撞過程動量守恒，把小球的速度分解為沿圓的切線方向的分速度和沿法線方向的分速度，碰撞過程遵守反射定律，分析清楚小球的運動過程，應用動量守恒定律與運動學公式求出運動時間．

解答 解：由幾何知識可知：α=30°，
小球在A點的速度分解：v₁=v₀cosα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$v₀，v₂=v₀sinα=$\frac{1}{2}$v₀，
v₁是鐵環(huán)與鐵球在OA方向的相對速度，碰撞后的相對速度：v′=v₁，沿AO的反方向，v₂不變，
以圓環(huán)為參考系，碰后小球的合速度方向沿AB方向，AB方向滿足：∠O′AO=∠OAB，
即小球與鐵環(huán)發(fā)生彈性碰撞時，在碰撞點小球的反射角等于入射角，
由此可知：∠O′AB=2∠O′AO=2α=60°，
小球在B點和圓環(huán)碰撞后仍滿足反射角等于入射角，碰后沿BC方向運動，
在C點碰撞后情況相同，小球以圓環(huán)為參考系，將在一個等邊三角形ABC的三邊上以初速度v₀運動，
從出發(fā)開始，經(jīng)過：t₁=$\frac{\frac{l}{2}}{{v}_{0}}$第一次碰撞，l為三角形的邊長，l=2Rcosα=$\sqrt{3}$R，
由此可知，第1次、第2次、…第N次碰撞時刻為：t₁=$\frac{\sqrt{3}R}{2{v}_{0}}$，
t₂=t₁+$\frac{l}{{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}R}{2{v}_{0}}$+$\frac{\sqrt{3}R}{{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2×2-1）$\frac{R}{{v}_{0}}$，
…
t_n=$\frac{\sqrt{3}}{2{v}_{0}}$R（2N-1）；
答：經(jīng)過時間$\frac{\sqrt{3}}{2{v}_{0}}$R（2N-1）小球?qū)⑴c鐵環(huán)發(fā)生第N次彈性碰撞．

點評 本題考查了動量守恒定律的應用，本題難度很大，分析清楚運動過程是正確解題的關鍵，分析清楚運動過程后，應用速公式求出時間，解題時要注意反射定律的應用、注意數(shù)學歸納法的應用．