Question

12．如圖甲所示，直角坐標系xoy中，第二象限內(nèi)有沿x軸正方向的勻強電場，第一、四象限內(nèi)有垂直坐標平面的勻強交變磁場，磁場方向垂直紙面向外為正方向．第三象限內(nèi)有一發(fā)射裝置（沒有畫出）沿y軸正方向射出一個比荷$\frac{q}{m}$=100C/kg的帶正電的粒子（可視為質(zhì)點且不計重力），該粒子以v₀=20m/s的速度從x軸上的點A（-2m，0）進入第二象限，從y軸上的點C（0，4m）進入第一象限．取粒子剛進入第一象限的時刻為0時刻，第一、四象限內(nèi)磁場的磁感應強度按圖乙所示規(guī)律變化．g=10m/s²．

（1）求第二象限內(nèi)電場的電場強度大小；
（2）求粒子第一次經(jīng)過x軸時的位置坐標．

Answer 1

分析 （1）由粒子做類平拋運動的水平位移和豎直位移求得加速度，進而求得電場強度；
（2）分析粒子運動軌跡，由知道等腰三角形的內(nèi)底角及腰長求得底邊邊長，進而求得位置坐標．

解答 （1）帶電粒子在第二象限的電場中只受電場力，且電場力方向與初速度方向垂直，所以，粒子做類平拋運動；
粒子從A點到C點用時$t=\frac{OC}{{v}_{0}}=\frac{4}{20}s=\frac{1}{5}s$，；
粒子在水平方向上有$a=\frac{qE}{m}$，所以，$OA=\frac{1}{2}a{t}^{2}$，則有$E=\frac{m}{q}a=\frac{m}{q}\frac{2OA}{{t}^{2}}=\frac{2×2}{100×（\frac{1}{5}）^{2}}N/C=1N/C$；
（2）粒子進入磁場時的速度為v，則其豎直分量v_y=v₀=20m/s，水平分量${v}_{x}=at=\frac{qE}{m}t=20m/s$；
所以，$v=\sqrt{{{v}_{x}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=20\sqrt{2}m/s$，v與y軸正方向的夾角為45°；
在洛倫茲力作向心力的作用下，$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{R}$，粒子在磁場中的做圓周運動的半徑$R=\frac{mv}{Bq}=\frac{20\sqrt{2}}{100×0.4}m=\frac{\sqrt{2}}{2}m$；
粒子做圓周運動的周期$T=\frac{2πR}{v}=\frac{π}{20}s$，所以，由圖乙可知，粒子每運動半個圓周則偏轉(zhuǎn)方向相反，
則粒子在磁場中的運動如圖所示，，
因為$4\sqrt{2}=8R$，所以粒子運動第四個半圓的過程中第一次經(jīng)過x軸，由等腰三角形性質(zhì)可知，粒子第一、二次經(jīng)過x軸，在x軸上對應的弦長為$\sqrt{2}r=1m$；
所以OD=3m，則粒子第一次經(jīng)過x軸時的位置坐標為（3m，0）．
答：（1）第二象限內(nèi)電場的電場強度大小為1N/C；
（2）粒子第一次經(jīng)過x軸時的位置坐標為（3m，0）．

點評 在粒子的運動問題上，要將粒子運動軌跡盡可能畫出來以減少問題的難度，如本題若沒有畫圖，則易認為粒子經(jīng)過4個半圓后第一次與x軸相交．