Question

7．A、B兩個(gè)小物塊用輕繩連接，繩跨過(guò)位于傾角為30°的光滑斜面頂端的輕滑輪，滑輪與轉(zhuǎn)軸之間的摩擦不計(jì)．斜面固定在水平桌面上，如圖甲所示．第一次A懸空，B放在斜面上，用t表示B自斜面底端由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)至斜面頂端所需的時(shí)間；第二次，將A和B位置互換，使B懸空，A放在斜面上，發(fā)現(xiàn)A自斜面底端由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)至斜面頂端所需的時(shí)間為$\frac{t}{2}$．（重力加速度g已知）

（1）求A與B兩小物塊的質(zhì)量之比．   
（2）若將光滑斜面換成一個(gè)半徑為R的半圓形光滑軌道，固定在水平桌面上，將這兩個(gè)小物塊用輕繩連結(jié)后，如圖放置．將B球從軌道邊緣由靜止釋放．若不計(jì)一切摩擦，求：B沿半圓形光滑軌道滑到底端時(shí)，A、B的速度大小．

Answer 1

分析 （1）對(duì)分別對(duì)兩種情況，對(duì)整體研究，根據(jù)牛頓第二定律求出整體的加速度，結(jié)合位移時(shí)間公式列式，即可求得質(zhì)量之比．
（2）對(duì)系統(tǒng)，運(yùn)用動(dòng)能定理列式，再結(jié)合兩個(gè)小球沿繩子方向的分速度大小相等列式，聯(lián)立求解即可．

解答 解：（1）第一次，對(duì)AB整體，由牛頓第二定律得：
   m₁g-m₂gsinα=（m₁+m₂）a₁
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得  $L=\frac{1}{2}{a_1}{t^2}$
第二次，同理可得：
 m₂g-m₁gsinα=（m₁+m₂）a₂
$L=\frac{1}{2}{a_2}{（\frac{t}{2}）^2}$
聯(lián)立解得 $\frac{m_1}{m_2}=\frac{2}{3}$
（2）設(shè)B球到達(dá)軌道底端時(shí)速度為v₂，此時(shí)A的速度為v₁，對(duì)AB整體，由動(dòng)能定理有：
  ${m_2}gR-{m_1}g\sqrt{2}R=\frac{1}{2}{m_2}v_2^2+\frac{1}{2}{m_1}v_1^2$，
而${v_2}=\sqrt{2}{v_1}$

解得：${v_1}=\frac{{\sqrt{2}-1}}{2}\sqrt{gR}$，${v_2}=\frac{{2-\sqrt{2}}}{2}\sqrt{gR}$
答：
（1）A與B兩小物塊的質(zhì)量之比是2：3．
（2）B沿半圓形光滑軌道滑到底端時(shí)，A、B的速度大小分別為$\frac{\sqrt{2}-1}{2}\sqrt{gR}$和$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$$\sqrt{gR}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題時(shí)，要注意研究對(duì)象，采用整體法比較簡(jiǎn)單．做題時(shí)結(jié)合幾何關(guān)系求解，明確A、B兩球沿繩子方向的分速度大小是相等的．