Question

3．在豎直平面內(nèi)有一曲線，以最低點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，在豎直面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，曲線位于第一象限，在曲線上不同高度處以初速度v₀向x軸負(fù)方向水平拋出質(zhì)量為m，帶電量為+q的小球，小球下落過程中都會(huì)通過坐標(biāo)原點(diǎn)，之后進(jìn)入第三象限的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里，小球恰好做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，并都能打到y(tǒng)軸負(fù)半軸區(qū)域（重力加速度為g）
（1）第三象限的電場(chǎng)強(qiáng)度大小及方向；
（2）求該曲線的曲線方程；
（3）要想所有的小球都打到y(tǒng)軸負(fù)半軸，求磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積．

Answer 1

分析 （1）小球在第三象限做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，說明受到的合外力提供向心加速度，即洛倫茲力提供向心加速度，由此即可得出電場(chǎng)力與重力大小相等方向相反；
（2）結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律即可求出；
（3）分析小球在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的可能的情況，結(jié)合矢量的分解的方法，求出粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度方向與初速度、末速度的關(guān)系，得出半徑與偏轉(zhuǎn)距離的關(guān)系，從而得出磁場(chǎng)的長度和寬度，即可求出磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積．

解答 解：（1）球在第三象限做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，說明洛倫茲力提供向心加速度，所以電場(chǎng)中與重力大小相等．方向相反，即：
qE=mg
得：$E=\frac{mg}{q}$
方向豎直向上．
（2）小球在第一象限做平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向：x=v₀t，
豎直方向：$y=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
聯(lián)立可得：$y=\frac{g{x}^{2}}{2{v}_{0}^{2}}$
所以該曲線的曲線方程為：$y=\frac{g{x}^{2}}{2{v}_{0}^{2}}$
（3）若該粒子從O點(diǎn)直接進(jìn)入磁場(chǎng)，則粒子的半徑：${r}_{0}=\frac{m{v}_{0}}{qB}$
粒子在第三象限運(yùn)動(dòng)的軌跡是半個(gè)圓弧，如圖中實(shí)線：
當(dāng)粒子從曲線的任意點(diǎn)拋出時(shí)，設(shè)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)與豎直方向的夾角是θ，粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖虛線，根據(jù)矢量的分解可知：
$v=\frac{{v}_{0}}{sinθ}$
此時(shí)粒子運(yùn)動(dòng)的半徑：$r=\frac{mv}{qB}=\frac{m{v}_{0}}{qB•sinθ}=\frac{{r}_{0}}{sinθ}$

所以粒子運(yùn)動(dòng)的半徑增大后，仍然從同一點(diǎn)射出．
所以磁場(chǎng)的最小區(qū)域?qū)��?yīng)的以圓的半徑r₀為半徑的半圓．所以磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積為：
${S}_{m}=\frac{π}{2}{r}_{0}^{2}=\frac{π{m}^{2}{v}_{0}^{2}}{{2q}^{2}{B}^{2}}$
答：（1）第三象限的電場(chǎng)強(qiáng)度大小是$\frac{mg}{qB}$，方向豎直向上；
（2）該曲線的曲線方程是$y=\frac{g{x}^{2}}{2{v}_{0}^{2}}$；
（3）要想所有的小球都打到y(tǒng)軸負(fù)半軸，磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積是$\frac{π{m}^{2}{v}_{0}^{2}}{{2q}^{2}{B}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 該題考查帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，粒子的入射點(diǎn)不同，則進(jìn)入磁場(chǎng)的方向與大小都不同，解答的關(guān)鍵就是要通過分析，得出所有的點(diǎn)都從同一點(diǎn)射出，才能順利找出磁場(chǎng)的最小區(qū)域的邊界．