Question

4．如圖所示，一長L=0.8m的水平傳送帶以恒定的速度3m/s做順時針運動．傳送帶離地面的高度h=1.25m，其右側(cè)地面上有一直徑D=0.5m的圓形洞，洞口最左端的A點離傳送帶右端的水平距離x=2m，B點在洞口的最右端．現(xiàn)使一小物塊以v₀=2m/s的速度向右水平滑上傳送帶（圖中未畫出），傳送帶與小物塊之間的動摩擦因數(shù)μ=0.5，g取10m/s²．
求：（1）小物塊與傳送帶速度相等時所需要的時間
（2）計算判斷小物塊能否落入洞中，若不能，求使小物塊能落入洞中，v₀應(yīng)滿足的條件（結(jié)果可用根號表示）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求出小物塊的加速度，結(jié)合速度時間公式求出速度達到傳送帶速度所需的時間．
（2）根據(jù)運動學公式求出速度達到傳送帶速度所需的位移，判斷出平拋運動的初速度，結(jié)合高度求出平拋運動的時間，從而得出水平位移，判斷是否落入洞中．
根據(jù)水平位移的范圍求出平拋運動初速度的范圍，結(jié)合速度位移公式求出v₀應(yīng)滿足的條件．

解答 解：（1）物塊在傳送帶上運動的加速度大小為：
a=μg=0.5×10m/s²=5m/s²，
則物塊速度與傳送帶速度相等經(jīng)歷的時間為：${t}_{1}=\frac{v-{v}_{0}}{a}=\frac{3-2}{5}s=0.2s$．
（2）物塊速度達到傳送帶速度時經(jīng)歷的位移為：$x′=\frac{{v}^{2}-{{v}_{0}}^{2}}{2a}=\frac{9-4}{10}m=0.5m＜0.8m$，
知物塊平拋運動的初速度為3m/s，
根據(jù)$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$得：
t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×1.25}{10}}s=0.5s$，
則水平位移x=vt=3×0.5m=1.5m＜2m，則物塊不能落入洞中．
小物塊要落入洞中，平拋運動的最大初速度為：${v}_{1}=\frac{x+D}{t}=\frac{2+0.5}{0.5}m/s=5m/s$，
最小初速度為：${v}_{2}=\frac{x}{t}=\frac{2}{0.5}m/s=4m/s$，
可知物塊在傳送帶上必須經(jīng)歷勻減速運動，根據(jù)${{v}_{0}}^{2}-{{v}_{1}}^{2}=2aL$，
代入數(shù)據(jù)解得：${v}_{0}=\sqrt{33}m/s$，
根據(jù)${{v}_{0}}^{2}-{{v}_{2}}^{2}=2aL$，
代入數(shù)據(jù)解得：${v}_{0}′=2\sqrt{6}m/s$，
所以有：$2\sqrt{6}m/s＜{v}_{0}＜\sqrt{33}m/s$．
答：（1）小物塊與傳送帶速度相等時所需要的時間為0.2s；
（2）小物塊不能落入洞中，要使小物塊落入洞中，初速度需滿足$2\sqrt{6}m/s＜{v}_{0}＜\sqrt{33}m/s$．

點評 本題考查了牛頓第二定律、平拋運動的基本規(guī)律以及運動學公式的基本運用，理清物塊在傳送帶上的運動規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律和運動學公式綜合求解．