Question

12．有人設(shè)計(jì)一種彈射裝置，可以把貨物從較低的位置彈射到較高的位置．其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖所示，AB為傾角θ=37°的斜面軌道，軌道的AC部分光滑，CB部分組成粗糙．BP為圓心角等于143°、半徑R=1m的豎直光滑圓弧形軌道，兩軌道相切于B點(diǎn)，P、O兩點(diǎn)在同一豎直線上，輕彈簧一端固定在A點(diǎn)，當(dāng)處于自然長(zhǎng)度時(shí)另一端在斜面上C點(diǎn)處，現(xiàn)有一質(zhì)量m=2kg的物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）在外力作用下將彈簧緩慢壓縮到D點(diǎn)后（不拴接）釋放，物塊經(jīng)過C點(diǎn)后，從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)過程中的位移與時(shí)間的關(guān)系為x=12t-4t²（式中x單位是m，t單位是s），假設(shè)物塊第一次經(jīng)過B點(diǎn)后恰能到達(dá)P點(diǎn)，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s²．
（1）求物塊與斜面的摩擦因素μ；
（2）若$\overline{CD}$=1m，試求物塊從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過程中，彈簧對(duì)物塊所做的功；
（3）求B、C兩點(diǎn)間的距離x_BC．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)CB段勻減速直線運(yùn)動(dòng)的位移時(shí)間關(guān)系得出物體運(yùn)動(dòng)的加速度，從而根據(jù)牛頓第二定律求出動(dòng)摩擦因數(shù)；
（2）物體在CB段向上做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)位移與時(shí)間的關(guān)系得出C點(diǎn)的速度，然后對(duì)DC段運(yùn)用動(dòng)能定理，求出彈力所做的功．
（3）物體恰好到達(dá)P點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律得出P點(diǎn)的速度，通過機(jī)械能守恒定律得出B點(diǎn)的速度，然后通過勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度位移公式求出B、C兩點(diǎn)間的距離

解答 解：（1）由x=12t-4t²知，物塊從C運(yùn)動(dòng)到B過程中的加速度大小為a=8m/s²
設(shè)物塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，由牛頓第二定律得
mgsinθ+μmgcosθ=ma                                   
代入數(shù)據(jù)解得μ=0.25
（2）由x=12t-4t²知，物塊在C點(diǎn)速度為v₀=12 m/s        
設(shè)物塊從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過程中，彈簧對(duì)物塊所做的功為W，
由動(dòng)能定理W-mgCDsin37°=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{0}^{2}$                      
代入數(shù)據(jù)得：W=156J                                  
（3）物塊在P點(diǎn)的速度滿足mg=m$\frac{{v}_{p}^{2}}{R}$                     
物塊從B運(yùn)動(dòng)到P的過程中機(jī)械能守恒，則有$\frac{1}{2}$m${v}_{B}^{2}$=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{p}^{2}$+mgh_pB 
h_pB=R（1+sin53°）                    
物塊從C運(yùn)動(dòng)到B的過程中有 v${\;}_{B}^{2}$-v${\;}_{0}^{2}$═-2ax          
由以上各式解得x=$\frac{49}{8}$
答：（1）動(dòng)摩擦因數(shù)為0.25；
（2）若CD=1m，試求物塊從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過程中，彈簧對(duì)物塊所做的功為156J；
 （3）求B、C兩點(diǎn)間的距離x=$\frac{49}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律以及牛頓第二定律，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，關(guān)鍵理清物體的運(yùn)動(dòng)情況，選擇合適的規(guī)律進(jìn)行求解．