Question

（2013?河南模擬）如圖所示，在x≥O的區(qū)域內存在與xOy平面垂直的勻強磁場，磁感應 強度的大小為B，方向垂直于紙面朝里．假設一系列質量為m、電荷量為q的正離子初速度為零，經過加速電場加速后從O點沿Ox軸正方向進人勻強磁場區(qū)域．有一塊厚度不計、高度為d的金屬板豎直放置在磁場中，截面如圖，M、N分別為金屬板截面的上、下端點，M點的坐標為（d，2d），N點的坐標為（d，d）．不計正離子的重力．
（1）加速電場的電壓在什么范圍內，進入磁場的離子才能全部打在金屬板上？
（2）求打在金屬板上的離子在磁場中運動的最短時間與最長時間的比值？（sin37°=0.6cos37°=0.8）

Answer 1

分析：求出恰好打到N點時的半徑，在求出恰好打到M點的半徑，中間的數據就是所求的電壓范圍；分別求出打到M點時的最長時間和打到N點時的最短時間，然后求比值即可．

解答：解：（1）設加速電壓為U，正離子初速度為零，經過加速電場加速，根據動能定理得：
qU=

1

2

mv2
正離子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力：
qvB=

mv2

R

R=

2mqU

qB

當加速電壓較小時，離子在磁場中做勻速圓周運動的半徑較小，當離子恰好打到金屬板下端點N點時，圓周運動的半徑最小為R_min，如圖1
根據幾何知識可以判斷R_min=d
故：U_min=

qB2d2

2m

當加速電壓較大時，離子在磁場中做勻速圓周運動的半徑較大，當離子恰好打到金屬板上端點M點時，圓周運動的半徑最大為Rmax，如圖2
根據幾何知識判斷：R_max²=d²+（2d-R_min）²
解得R_max=

5

4

d
所以U_max=

25qB2d2

32m

所以離子能全部打在金屬板上，加速電壓的取值范圍為：

qB2d2

2m

≤U≤

25qB2d2

32m

（2）設離子在磁場中做勻速圓周運動的周期為T，根據圓周運動規(guī)律得：
T=

2πR

v

  ①
又qvB=

mv2

R

 ②
聯立①②解得T=

2πm

qB

離子在磁場中做勻速圓周運動的周期與加速電壓無關．
離子在圖1中所示的軌跡中運動時間最短為
t_min=

1

4

T
離子在圖2所示的軌跡中運動時間最長為：
t_max=

90°+θ

360°

根據幾何知識：cosθ=

d

rmax

=

4

5

則：θ=37°
所以

tmin

tmax

=

90

127

答：（1）加速電場的電壓在為：

qB2d2

2m

≤U≤

25qB2d2

32m

范圍內，進入磁場的離 子才能全部打在金屬板上，
（2）打在金屬板上的離子在磁場中運動的最短時間與最長時間的比值為

90

127

．

點評：此題考查離子在勻強磁場中的運動情況，屬于高考常見題目，要加強聯系，難度適中．