Question

6．某同學(xué)設(shè)計了如圖所示的趣味實驗來研究碰撞問題，用材料和長度相同的不可伸長的輕繩依次將N個大小相同、質(zhì)量不等的小球懸掛于水平天花板下方，且相鄰的小球靜止時彼此接觸但無相互作用力，小球編號從左到右依次為1、2、3、…、N，每個小球的質(zhì)量為其相鄰左邊小球質(zhì)量的k倍（k＜1）．在第N個小球右側(cè)放置一傾角α=37°的斜面，斜面左側(cè)靠近第N個小球處有一光滑平臺，平臺上放置一小球P，小球P的質(zhì)量與第N個小球的質(zhì)量相等，所有小球的球心等高．現(xiàn)將1號小球由最低點向左拉起高度h，保持繩繃緊狀態(tài)由靜止釋放1號小球，使其與2號小球碰撞，2號小球再與3號小球碰撞…．所有碰撞均為在同一直線上的正碰且無機械能損失．已知sin37°=0.6，cos37°=0.8；重力加速度為g，空氣阻力、小球每次碰撞時間均可忽略不計．
（1）求1號小球與2號小球碰撞之前的速度v₁大�。�
（2）求P小球離開光滑平臺時的速度v_P的大��；
（3）若N=5，且發(fā)現(xiàn)P小球離開平臺后第一次落于斜面上與P點豎直高度差為H=$\frac{64}{9}$h的Q點，求k的值．

Answer 1

分析 1、對于1號小球由h高運動到最低點過程，根據(jù)機械能守恒求出碰前的速度
2、對于1、2號小球碰撞的過程根據(jù)動量守恒定律和機械能守恒列出等式，對于2、3號小球碰撞的過程，根據(jù)動量守恒定律和機械能守恒求解
3、因為5號小球與P小球質(zhì)量相等，可知二者發(fā)生碰撞后交換速度，P球此后做平拋運動，根據(jù)平拋運動基本公式列式即可求解．

解答 解：（1）設(shè)1號小球的質(zhì)量為m₁，碰前的速度為v₁，
對于1號小球由h高運動到最低點過程，根據(jù)機械能守恒
${m}_{1}gh=\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{1}}^{2}$
解得：${v}_{1}=\sqrt{2gh}$
（2）設(shè)1號、2號小球碰撞后的速度分別為v₁′和v₂，取水平向右為正方向．
對于1、2號小球碰撞的過程，根據(jù)動量守恒定律有
m₁v₁=m₁v'₁+m₂v₂
根據(jù)機械能守恒有 $\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{1}}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}{′}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{2}}^{2}$
解得：${v}_{2}=\frac{2}{1+k}\sqrt{2gh}$
設(shè)2號、3號小球碰撞后的速度分別為v₂′和v₃，
對于2、3號小球碰撞的過程，根據(jù)動量守恒定律有 m₂v₂=m₂v'₂+m₃v₃
根據(jù)機械能守恒有 $\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{2}}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}{′}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{3}{{v}_{3}}^{2}$
同理可解得：3號小球被碰后的速度 ${v}_{3}=（\frac{2}{1+k}）^{2}\sqrt{2gh}$
則第N個球與P碰撞前的速度${v}_{N}={（\frac{2}{1+k}）}^{N-1}\sqrt{2gh}$，
而小球P的質(zhì)量與第N個小球的質(zhì)量相等，且發(fā)生正碰，速度交換，則P小球離開光滑平臺時的速度v_P=${v}_{N}={（\frac{2}{1+k}）}^{N-1}\sqrt{2gh}$
 （3）由（2）中的結(jié)果可推知5號小球被碰后的速度 ${v}_{5}={（\frac{2}{1+k}）}^{4}\sqrt{2gh}$
因為5號小球與P小球質(zhì)量相等，可知二者發(fā)生碰撞后交換速度，
所以P小球第一次被碰撞后的速度 ${v}_{P}={（\frac{2}{1+k}）}^{4}\sqrt{2gh}$
P球此后做平拋運動，則有：
H=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
$\frac{H}{tan37°}={v}_{P}t$，
解得：$k=\sqrt{3}-1$
答：（1）1號小球與2號小球碰撞之前的速度v₁大小為$\sqrt{2gh}$；
（2）求P小球離開光滑平臺時的速度v_P的大小為${（\frac{2}{1+k}）}^{N-1}\sqrt{2gh}$；
（3）若N=5，且發(fā)現(xiàn)P小球離開平臺后第一次落于斜面上與P點豎直高度差為H=$\frac{64}{9}$h的Q點，k的值為$\sqrt{3}-1$．

點評 本題是利用動量守恒和機械能守恒聯(lián)合解決一維碰撞問題的典型例子，其中由1號球的速度歸納第n+1號球的速度是關(guān)鍵，而且也是難點．