Question

19．在豎直平面內(nèi)有一個(gè)光滑的半圓軌道，軌道兩端連線即直徑在豎直方向，軌道半徑為0.4m，一個(gè)質(zhì)量為0.5kg的小球以一定的初速度滾上軌道（g取10m/s²）求：
（1）小球在最高點(diǎn)不脫離軌道的最小速率是多少？
（2）小球在最高點(diǎn)速率v=4m/s時(shí)，小球?qū)�軌道的壓力是多少�?

Answer 1

分析 （1）小球在最高點(diǎn)不脫離軌道的條件是重力不大于小球做圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力，當(dāng)只由重力提供向心力時(shí)，速度最小，根據(jù)牛頓第二定律列式求出最小速率．
（2）小球在最高點(diǎn)速率v=4m/s時(shí)，由重力和軌道的壓力的合力提供向心力，列式求出軌道對(duì)小球的壓力，再根據(jù)牛頓第三定律得到小球?qū)�軌道的壓�?/p>

解答 解：（1）在最高點(diǎn)小球不脫離軌道的條件是重力不大于小球做圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力，即：
$mg≤m\frac{{v}^{2}}{R}$
解得最小速率為：${v}_{min}=\sqrt{gR}=\sqrt{0.4×10}=2m/s$
（2）因?yàn)関=4m/s＞v_min，所以軌道對(duì)小球有一定的壓力F，則：
F+mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：F=0.5×$\frac{16}{0.4}$=15N
由牛頓第三定律知，小球?qū)�軌道的壓力�?5N
答：（1）小球在最高點(diǎn)不脫離軌道的最小速率是2m/s；
（2）小球在最高點(diǎn)速率v=4m/s時(shí)，小球?qū)�軌道的壓力�?5N．

點(diǎn)評(píng) 本題與輕繩的模型類似，關(guān)鍵分析小球的受力，確定什么力提供向心力，運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律研究圓周運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)問題．