Question

13．一號(hào)衛(wèi)星和二號(hào)衛(wèi)星分別繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們的質(zhì)量之比為1：3，它們的軌道半徑之比為1：4，則：
（1）一號(hào)衛(wèi)星和二號(hào)衛(wèi)星的線速度之比為多少？
（2）一號(hào)衛(wèi)星和二號(hào)衛(wèi)星的周期之比為多少？
（3）一號(hào)衛(wèi)星和二號(hào)衛(wèi)星的向心加速度之比為多少？

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，解出線速度v、周期T向心加速度a與軌道半徑r之間的關(guān)系表達(dá)式，根據(jù)半徑關(guān)系求其比值．

解答 解：根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$=ma，得$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，
（1）$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\sqrt{\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}}=\sqrt{\frac{4}{1}}=\frac{2}{1}$
（2）$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}=\sqrt{{（\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}）}^{3}}=\sqrt{{（\frac{1}{4}）}^{3}}=\frac{1}{8}$
（3）向心加速度：a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$
所以：$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}=\frac{{r}_{2}^{2}}{{r}_{1}^{2}}=\frac{16}{1}$
答：（1）一號(hào)衛(wèi)星和二號(hào)衛(wèi)星的線速度之比為2：1；
（2）一號(hào)衛(wèi)星和二號(hào)衛(wèi)星的周期之比為1：8；
（3）一號(hào)衛(wèi)星和二號(hào)衛(wèi)星的向心加速度之比為16：1．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是要掌握萬有引力提供向心力這個(gè)關(guān)系，能夠根據(jù)題意選擇恰當(dāng)?shù)南蛐牧Φ谋磉_(dá)式．