Question

20．人類對宇宙的探測永無止境．假設(shè)某一天人類乘坐宇宙飛船可以翱翔太空，當飛船到達某一個星球表面僅在其引力作用下做勻速圓周運動時，若周期越小，則（　　）

• A． 該星球質(zhì)量大
• B． 該星球密度大
• C． 若半徑一定，則該星球的第一宇宙速度越大
• D． 若半徑一定，則飛船受到的引力越小

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供向心力得出星球質(zhì)量的表達式，通過表達式分析星球質(zhì)量和周期的關(guān)系．結(jié)合星球質(zhì)量和體積求出星球密度表達式，從而分析判斷．
當半徑一定時，根據(jù)周期的變化得出星球質(zhì)量的變化，結(jié)合線速度與軌道半徑的關(guān)系判斷第一宇宙速度的變化，根據(jù)星球質(zhì)量的變化，分析飛船引力的變化．

解答 解：飛船在星球表面做勻速圓周運動，根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
解得M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$，周期小，由于半徑未知，則星球的質(zhì)量不一定大，故A錯誤．
則星球的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}$=$\frac{3π}{G{T}^{2}}$，周期越小，星球的密度越大，故B正確．
若半徑一定，根據(jù)M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$，周期越小，星球的質(zhì)量越大，根據(jù)v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$知，星球的第一宇宙速度越大，故C正確．
半徑一定，星球的質(zhì)量越大，根據(jù)F=$G\frac{Mm}{{r}^{2}}$知，飛船受到的引力越大，故D錯誤．
故選：BC．

點評 解決本題的關(guān)鍵通過萬有引力提供向心力得出星球質(zhì)量、密度等表達式，通過表達式分析判斷，這是處理這類問題常用的方法．