Question

10．如圖，在豎直向下的磁感應強度為B的勻強磁場中，兩根足夠長的平行光滑金屬軌道MN、PQ固定在水平面內(nèi)，相距為L．一質(zhì)量為m的導體棒ab垂直于MN、PQ放在軌道上，與軌道接觸良好．軌道和導體棒的電阻均不計．
（1）如圖1，若軌道左端MP間接一阻值為R的電阻，導體棒在拉力F的作用下以速度v沿軌道做勻速運動．請通過公式推導證明：在任意一段時間△t內(nèi)，拉力F所做的功與電路獲取的電能相等．
（2）如圖2，若軌道左端接一電動勢為E、內(nèi)阻為r的電源和一阻值未知的電阻．閉合開關(guān)S，導體棒從靜止開始運動，經(jīng)過一段時間后，導體棒達到最大速度v_m，求此時電源的輸出功率．
（3）如圖3，若軌道左端接一電容器，電容器的電容為C，導體棒在水平拉力的作用下從靜止開始向右運動．電容器兩極板電勢差隨時間變化的圖象如圖4所示，已知t₁時刻電容器兩極板間的電勢差為U₁．求導體棒運動過程中受到的水平拉力大�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)公式E=BLv、歐姆定律、安培力公式，得到安培力表達式，由平衡條件得到F表達式，求出F做功，再與焦耳熱相比較來證明．
（2）導體棒先做加速運動，產(chǎn)生感應電動勢，此電動勢與電源的電動勢相反，回路中總電動勢減小，電流減小，當電流為零時，導體棒不再受安培力而做勻速運動，達到最大速度．根據(jù)感應電動勢和歐姆定律結(jié)合求解．
（3）感應電動勢與電容器兩極板間的電勢差相等．由圖象得到U與t的關(guān)系式，由E=BLv結(jié)合得到v與t的關(guān)系式，求得加速度，再由牛頓第二定律求得F．

解答 解：（1）導體棒切割磁感線 E=BLv  
導體棒做勻速運動 F=F_安
又 F_安=BIL，I=$\frac{E}{R}$
在任意一段時間△t內(nèi)，拉力F所做的功  W=Fv△t=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R}$△t
電路獲取的電能△E=qE=EI△t=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R}$△t
可見，在任意一段時間△t內(nèi)，拉力F所做的功與電路獲取的電能相等．
（2）導體棒達到最大速度v_m時，棒中沒有電流．
電源的路端電壓 U=BLv_m
電源與電阻所在回路的電流  I=$\frac{E-U}{r}$
電源的輸出功率  P=UI=$\frac{EBL{v}_{m}-{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}^{2}}{r}$
（3）感應電動勢與電容器兩極板間的電勢差相等  BLv=U
由電容器的U-t圖可知 U=$\frac{{U}_{1}}{{t}_{1}}$t
導體棒的速度隨時間變化的關(guān)系為 v=$\frac{{U}_{1}}{BL{t}_{1}}$t
可知導體棒做勻加速直線運動，其加速度  a=$\frac{{U}_{1}}{BL{t}_{1}}$
由 C=$\frac{Q}{U}$，I=$\frac{Q}{t}$
則I=$\frac{CU}{t}$=$\frac{C{U}_{1}}{{t}_{1}}$
由牛頓第二定律得 F-BIL=ma
可得 F=$\frac{BLC{U}_{1}}{{t}_{1}}$+$\frac{m{U}_{1}}{BL{t}_{1}}$
答：
（1）證明見上．
（2）此時電源的輸出功率是$\frac{EBL{v}_{m}-{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}^{2}}{r}$．
（3）導體棒運動過程中受到的水平拉力大小是$\frac{BLC{U}_{1}}{{t}_{1}}$+$\frac{m{U}_{1}}{BL{t}_{1}}$．

點評 本題從力和能量兩個角度分析電磁感應現(xiàn)象，安培力的表達式F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$是常用的經(jīng)驗公式，要能熟練推導．對于導體棒切割類型，關(guān)鍵要正確分析受力，把握其運動情況和能量轉(zhuǎn)化關(guān)系．