Question

6．類比法經(jīng)常用到科學(xué)研究中．科學(xué)家在探索未知領(lǐng)域的規(guī)律時，常常將在未知新領(lǐng)域?qū)嶒炛械玫降臏y量結(jié)果和實驗現(xiàn)象與已知的物理規(guī)律作類比，從而推測出未知領(lǐng)域可能存在的規(guī)律．然后再通過實驗進(jìn)行檢驗，以確定類比得到的結(jié)論是否正確．
經(jīng)典物理告訴我們，若規(guī)定相距無窮遠(yuǎn)時引力勢能為0，則兩個質(zhì)點間引力勢能的表達(dá)式為E_P=-G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{r}$，其中G為引力常量，m₁、m₂為兩個質(zhì)點的質(zhì)量，r為兩個質(zhì)點間的距離．
（1）把電荷之間相互作用的力及電勢能與萬有引力及引力勢能作類比，我們可以聯(lián)想到電荷之間相互作用的力及電勢能的規(guī)律．在真空中有帶電荷量分別為+q₁和-q₂的兩個點電荷，若取它們相距無窮遠(yuǎn)時電勢能為零，已知靜電力常量為k，請寫出當(dāng)它們之間的距離為r時相互作用的電勢能的表達(dá)式．
（2）科學(xué)家在研究頂夸克性質(zhì)的過程中，發(fā)現(xiàn)了正反頂夸克之間的強(qiáng)相互作用勢能也有與引力勢能類似的規(guī)律，根據(jù)實驗測定，正反頂夸克之間的強(qiáng)相互作用勢能可表示為E_P=-$\frac{A}{r}$，其中A是已知數(shù)值為正的常量，r為正反頂夸克間的距離．請根據(jù)上述信息，推測正反頂夸克之間強(qiáng)相互作用力大小的表達(dá)式（用A和r表示）．
（3）如果正反頂夸克在彼此間相互作用下繞它們連線的中點做穩(wěn)定的勻速圓周運動，若正反頂夸克系統(tǒng)做勻速圓周運動的周期比正反頂夸克本身的壽命小得多，則一對正反頂夸克可視為一個處于“束縛狀態(tài)”的系統(tǒng)．已知正反頂夸克質(zhì)量都是m（不考慮相對論效應(yīng)），根據(jù)玻爾理論，如果正反頂夸克粒子系統(tǒng)處于束縛態(tài)，正反頂夸克粒子系統(tǒng)必須像氫原子一樣滿足的量子化條件為：mv_nr_n=n$\frac{h}{2π}$，n=1，2，3…
式中n稱為量子數(shù)，可取整數(shù)值1，2，3，…，h為普朗克常量，r_n為系統(tǒng)處于量子數(shù)為n的狀態(tài)時正反頂夸克之間的距離，v_n是系統(tǒng)處于該狀態(tài)時正反頂夸克做圓周運動的速率．
若實驗測得正反頂夸克的壽命為τ=0.40×10^-24s，并且已知組合常數(shù)$\frac{{h}^{3}}{{A}^{2}m}$=3.6×10^-23s，其中A為（2）中的常數(shù)．根據(jù)已知條件在以上模型中通過計算判斷，正反頂夸克能否構(gòu)成一個處在束縛狀態(tài)的系統(tǒng)？

Answer 1

分析 （1）因為真空中的點電荷之間的相互作用力與萬有引力的規(guī)律相似，則引力勢能的表達(dá)式相似，由此分析．
（2）類比引力勢能公式和強(qiáng)相互作用勢能公式，可以推導(dǎo)正反頂夸克之間強(qiáng)相互作用力表達(dá)式；
（3）設(shè)基態(tài)時頂夸克粒子的線速度大小為v₁，根據(jù)牛頓定律和玻爾理論列方程求解粒子運動周期，根據(jù)周期關(guān)系判斷正反頂夸克的束縛態(tài)是否可能存在．

解答 解：（1）因為真空中的點電荷之間的相互作用力的F_電=k$\frac{{q}_{1}{q}_{2}}{{r}^{2}}$，這與萬有引力的規(guī)律F_引=G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$相似，且都具有做功與路徑無關(guān)的特點．
在規(guī)定無窮遠(yuǎn)處引力勢能為零的情況下，在物體由無窮遠(yuǎn)到相距為r的過程中，引力做正功，引力勢能減小，所以引力勢能為負(fù)值．同樣，兩個帶異號電性的點電荷由無窮遠(yuǎn)到相距為r的過程中，靜電力做正功，電勢能減小，所以電勢能為負(fù)值．
在真空中有帶電荷量分別為+q₁和-q₂的兩個點電荷，當(dāng)它們之間的距離為r時相互作用的電勢能的表達(dá)式為E_電=-k$\frac{{q}_{1}{q}_{2}}{r}$．
（2）類比引力勢能公式和強(qiáng)相互作用勢能公式，可知強(qiáng)相互作用力為引力．
質(zhì)點間引力表達(dá)式為F=G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$，類比可知，正反頂夸克之間強(qiáng)相互作用力表達(dá)式為：F=$\frac{A}{{r}^{2}}$；
（3）設(shè)基態(tài)時頂夸克粒子的線速度大小為v₁，各自的半徑都是$\frac{1}{2}{r}_{1}$，根據(jù)牛頓定律：$\frac{A}{{r}_{1}^{2}}=m\frac{{v}_{1}^{2}}{\frac{1}{2}{r}_{1}}$
基態(tài)時n=1，根據(jù)玻爾理論：mv₁r₁=$\frac{h}{2π}$，
聯(lián)立上述二式可得：${r}_{1}=\frac{{h}^{2}}{2{π}^{2}Am}$
根據(jù)牛頓定律$\frac{A}{{r}_{1}^{2}}=m•\frac{4{π}^{2}}{{T}_{1}^{2}}•\frac{1}{2}{r}_{1}$
聯(lián)立④⑤可得T₁=$\frac{{h}^{3}}{2{π}^{2}{A}^{2}m}$
代入數(shù)據(jù)，解得 T₁=1.8×10^-24s
由此可見τ＜T₁，
因為處于基態(tài)時，正反頂夸克做圓周運動的周期比所有的激發(fā)態(tài)的周期都短，所以在該模型中正反頂夸克做圓周運動的周期一定大于正反頂夸克的壽命，故正反頂夸克的束縛態(tài)是不可能存在的．
答：（1）它們之間的距離為r時相互作用的電勢能的表達(dá)式為E_電=-k$\frac{{q}_{1}{q}_{2}}{r}$．
（2）正反頂夸克之間強(qiáng)相互作用力大小的表達(dá)式為F=$\frac{A}{{r}^{2}}$．
（3）根據(jù)已知條件推測，正反頂夸克的束縛態(tài)是不可能存在的．

點評 本題主要是通過萬有引力定律和庫侖定律的表達(dá)式相似進(jìn)行類比分析，得到引力勢能和分子勢能的相似表達(dá)式；進(jìn)一步根據(jù)牛頓第二定律和波爾理論進(jìn)行推導(dǎo)延伸，突出表現(xiàn)類比法的應(yīng)用．