Question

15．我國(guó)的“嫦娥三號(hào)”探月衛(wèi)星實(shí)現(xiàn)了“月面軟著陸”，該過(guò)程的最后階段是著陸器離月面h高度時(shí)速度減小為零，為防止發(fā)動(dòng)機(jī)將月面上的塵埃吹起，此時(shí)要關(guān)掉所有的發(fā)動(dòng)機(jī)，讓著陸器自由下落著陸，自由下落用時(shí)為t，月球半徑為R，萬(wàn)有引力常量為G．根據(jù)以上已知量，求：
①月球表面的重力加速度g；
②月球的第一宇宙速度v；
③月球的平均密度ρ．

Answer 1

分析 ①著陸器做自由落體運(yùn)動(dòng)，由勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式可以求出重力加速度；
②衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力，由牛頓第二定律求出第一宇宙速度；
③萬(wàn)有引力等于重力，求出月球的質(zhì)量，然后應(yīng)用密度公式求出月球的密度．

解答 解：①著陸器做自由落體運(yùn)動(dòng)，位移：h=$\frac{1}{2}$gt²，
解得：g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$；
②重力（萬(wàn)有引力）提供向心力，由牛頓第二定律得：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：v=$\frac{\sqrt{2hR}}{t}$；
③萬(wàn)有引力等于重力：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，
月球的密度：ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$，
解得：ρ=$\frac{3h}{2πGR{t}^{2}}$；
答：①月球表面的重力加速度g為$\frac{2h}{{t}^{2}}$；
②月球的第一宇宙速度v為$\frac{\sqrt{2hR}}{t}$；
③月球的平均密度ρ為$\frac{3h}{2πGR{t}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道綜合題，考查了萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用，應(yīng)用勻變速直線運(yùn)動(dòng)位移公式、萬(wàn)有引力公式與密度公式可以解題；要注意：在忽略自轉(zhuǎn)影響的情況下，星球表面的物體所受重力等于萬(wàn)有引力．