Question

9．如圖所示，長為2L的CDE光滑絕緣軌道與水平面成θ角，D為軌道中點．兩塊帶等量異種電荷的平行金屬板AB與軌道垂直，分別放置在D、E兩處，A板上有一小孔（忽略它對兩板間電場分布的影響），兩板間有場強為E的勻強電場．一個質量為m，電荷量為q（q＜0）的小球a自靠近B板處無初速釋放，穿過小孔后（不與金屬板A接觸）與軌道C端相同不帶電金屬小球b碰撞，碰撞過程中無能量損失．已知小球b在下一次碰撞前會散盡所有的電荷．求：
（1）小球a第一次到達C點時的速度；
（2）小球第n次向上穿過A板運動能到達的位置．

Answer 1

分析 （1）小球向下運動的過程中，重力做正功，電場力做負功，運用動能定理列式，可求得小球a第一次到達C點時的速度．
（2）運用動能定理，對小球a第一次返回、第二次下滑、第二次返回、第三次下滑…等多次列式，總結規(guī)律，求解即可．

解答 解：（1）首次到達C點的過程中，由動能定理可知
 mgsinθx2L-EqL=$\frac{1}{2}$mv₁²-0…①
得 v₁=$\sqrt{\frac{2（2mgLsinθ-EqL）}{m}}$
（2）首次返回到最高點的過程中，由動能定理可知
-mgsinθL+（E•$\frac{q}{2}$-mgsinθ）l₁=0-$\frac{1}{2}$mv₁²…②
第二次下滑，由動能定理可知
 mgsinθl₁+mgsinθL-E•$\frac{q}{2}$l₁=$\frac{1}{2}$mv₂²-0…③
第二次返回到最高點的過程中，由動能定理可知
-mgsinθL+（E•$\frac{q}{{2}^{2}}$-mgsinθ）l₂=0-$\frac{1}{2}$mv₂²…④
…
聯立各式得 l_n=$\frac{（mgsinθ-qE）L}{mgsinθ-\frac{qE}{2n}}$
答：
（1）小球a第一次到達C點時的速度是$\sqrt{\frac{2（2mgLsinθ-EqL）}{m}}$；
（2）小球第n次向上穿過A板運動能到達的位置離C點距離為$\frac{（mgsinθ-qE）L}{mgsinθ-\frac{qE}{2n}}$．

點評 了解研究對象的運動過程是解決問題的前提，本題要多次運用動能定理，采用歸納法研究小球a上滑距離的數學規(guī)律，從而得到通項表達式．