Question

7．如圖是利用傳送帶裝運煤塊的示意圖．其中，傳送帶的從動輪與主動輪圓心之間的距離為s=3m，傳送帶與水平方向間的夾角θ=37°，煤塊與傳送帶間的動摩擦因數(shù)μ=0.8，傳送帶的主動輪和從動輪半徑相等，主動輪軸頂端與運煤車底板間的豎直高度H=1.8m，與運煤車車箱中心的水平距離x=0.6m．現(xiàn)在傳送帶底端由靜止釋放一煤塊（可視為質點）．煤塊恰好在輪的最高點水平拋出并落在車箱中心，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）傳送帶勻速運動的速度v及主動輪的半徑r；
（2）煤塊在傳送帶上留下的痕跡長度；
（3）若煤塊的質量m=1kg，則為運送煤塊而多消耗的電能為多少？

Answer 1

分析 （1）煤塊離開傳送帶做平拋運動，根據(jù)高度求出平拋運動的時間，再根據(jù)水平位移和時間求出平拋運動的初速度，即傳送帶勻速運動的速度；煤塊在最高點做平拋運動，知煤塊到達輪的最高點時對輪的壓力為零，根據(jù)牛頓第二定律求出主動輪的半徑R．
（2）煤塊在傳送帶上先加速后勻速；對加速過程，根據(jù)牛頓第二定律列式求解加速度，根據(jù)運動學公式求解加速的時間；同時求解傳送帶的位移；差值即為相對位移．
（3）根據(jù)牛頓第二定律煤塊勻加速直線運動的加速度，通過速度時間公式求出煤塊在傳送帶上由靜止開始加速至與傳送帶速度相同所經過的時間；根據(jù)能量守恒定律求出傳送帶由于傳送煤塊多消耗的電能．

解答 解：（1）由平拋運動的公式，得：
x=vt
H=$\frac{1}{2}$gt²
代入數(shù)據(jù)解得：
v=1m/s
要使煤塊在輪的最高點做平拋運動，則煤塊到達輪的最高點時對輪的壓力為零，由牛頓第二定律，得：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
代入數(shù)據(jù)得：
r=0.1m
（2）煤塊在傳送帶上先加速后勻速，對加速過程，根據(jù)牛頓第二定律，有：
mgsinθ-μmgcosθ=ma
解得：a=0.4m/s²
加速時間：$t=\frac{v}{a}=\frac{1}{0.4}s=2.5s$
加速位移：${S}_{1}=\frac{v}{2}t=\frac{1}{2}×2.5=1.25m$
此過程傳送帶的位移：S₂=vt=2.5m
故相對位移：△S=S₂-S₁=1.25m
（3）由能量守恒得：
$E=mgh+\frac{1}{2}m{v^2}+Q$
=$mg[Ssin37°+1（1-cos37°）]+\frac{1}{2}m{v^2}+μmgcosθ•△S$
=$1×10×[（3×0.6+0.1×（1-0.8）]+\frac{1}{2}×1×{1^2}+0.8×1×10×1.25J$
=26.7J
答：（1）傳送帶勻速運動的速度v為1m/s，主動輪的半徑r為0.1m；
（2）煤塊在傳送帶上留下的痕跡長度為1.25m；
（3）若煤塊的質量m=1kg，則為運送煤塊而多消耗的電能為26.7J．

點評 本題綜合考查了平拋運動和圓周運動的規(guī)律，掌握牛頓第二定律、能量守恒定律以及運動學公式，知道加速度是聯(lián)系力學和運動學的橋梁．