Question

【題目】小型登月器連接在航天站上，一起繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)，其軌道半徑為月球半徑的3倍，某時(shí)刻，航天站使登月器減速分離，登月器沿如圖所示的橢圓軌道登月，在月球表面逗留一段時(shí)間完成科考工作后，經(jīng)快速啟動(dòng)仍沿原橢圓軌道返回，當(dāng)?shù)谝淮位氐椒蛛x點(diǎn)時(shí)恰與航天站對(duì)接，登月器快速啟動(dòng)時(shí)間可以忽略不計(jì)，整個(gè)過(guò)程中航天站保持原軌道繞月運(yùn)行．已知月球表面的重力加速度為g，月球半徑為R，不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響，則登月器可以在月球上停留的最短時(shí)間約為（　�。�

A. 4.7πB. 3.6πC. 1.7πD. 1.4π

Answer 1

【答案】A

【解析】

設(shè)登月器和航天飛機(jī)在半徑3R的軌道上運(yùn)行時(shí)的周期為T，因其繞月球作圓周運(yùn)動(dòng)，所以應(yīng)用牛頓第二定律有

解得：

在月球表面的物體所受重力近似等于萬(wàn)有引力，有：

所以有

設(shè)登月器在小橢圓軌道運(yùn)行的周期是T1，航天飛機(jī)在大圓軌道運(yùn)行的周期是T2．對(duì)登月器和航天飛機(jī)依據(jù)開(kāi)普勒第三定律分別有：

為使登月器仍沿原橢圓軌道回到分離點(diǎn)與航天飛機(jī)實(shí)現(xiàn)對(duì)接，登月器可以在月球表面逗留的時(shí)間t應(yīng)滿足

(其中)

聯(lián)立解得：

(其中)

當(dāng)n=1時(shí)，登月器可以在月球上停留的時(shí)間最短，即為

A. 4.7π與分析相符，故A項(xiàng)與題意相符；

B. 3.6π與分析不相符，故B項(xiàng)與題意不相符；

C. 1.7π與分析不相符，故C項(xiàng)與題意不相符；

D. 1.4π與分析不相符，故D項(xiàng)與題意不相符。