Question

18．如圖1所示，光滑曲面軌道置于高度為H=1.8m的平臺(tái)上，其末端與平臺(tái)水平相切，另有一長(zhǎng)木板兩端分別擱在軌道末端點(diǎn)和水平地面間，構(gòu)成傾角為θ=37°的斜面，整個(gè)裝置固定在豎直平面內(nèi)，一個(gè)可視作質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m=0.1kg的小球，沿光滑曲面下滑，不計(jì)空氣阻力．（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²）

（1）若小球從某處以1m/s的初速度開始沿曲面下滑，小球離開平臺(tái)的速度大小為3m/s，則小球開始下落的高度h為多大？
（2）若小球由靜止沿曲面下滑后能夠落在木板上，則釋放小球的高度h應(yīng)該滿足什么條件？
（3）試推導(dǎo)小球由靜止沿曲面下滑后第一次撞擊木板時(shí)的動(dòng)能E_k與它下滑高度h的關(guān)系式，并作出E_k-h圖象．

Answer 1

分析 （1）小球下滑過程中受重力和支持力，其中支持力不做功，只有重力做功，機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律列式求解；
（2）先根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的位移公式求解出平拋的初速度，然后對(duì)沿斜面下滑過程運(yùn)用機(jī)械能守恒定律列式求解；
（3）小球落到斜面上，位移方向一定，先根據(jù)位移時(shí)間關(guān)系公式得到運(yùn)動(dòng)時(shí)間，再求出水平和豎直分速度后合成合速度，得到動(dòng)能的一般表達(dá)式，再作圖．

解答 解：（1）小球從光滑曲面上滑下，只有重力做功，由機(jī)械能守恒定律：
mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$ 
解得：h=0.4m
（2）小球離開平臺(tái)后做平拋運(yùn)動(dòng)，從軌道下滑的高度h越大，落在平板上的位置越低，考慮恰好落在地面上的臨界情況，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的分運(yùn)動(dòng)公式，有：
H=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
x=v₀t
tan37°=$\frac{H}{x}$
根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有：
mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
聯(lián)立解得：h=0.8m
故h≤0.8m即可落在木板上；
（3）由機(jī)械能守恒定律可得：
mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
小球由離開平臺(tái)后做平拋運(yùn)動(dòng)，可看做水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)，則：
$y=\frac{1}{2}g{t^2}$ 
x=v₀t
$tan37°=\frac{y}{x}$
v_y=gt
$v_t^2=v_0^2+v_y^2$
${E_K}=\frac{1}{2}mv_t^2$
由以上格式聯(lián)立可得：E_k=3.25h
考慮到當(dāng)h＞0.8m時(shí)小球不會(huì)落到斜面上，其圖象如圖所示

答：（1）若小球從某處以1m/s的初速度開始沿曲面下滑，小球離開平臺(tái)的速度大小為3m/s，則小球開始下落的高度h為0.3m；
（2）若小球由靜止沿曲面下滑后能夠落在木板上，則釋放小球的高度h應(yīng)該滿足條件h≤0.8m；
（3）小球由靜止沿曲面下滑后第一次撞擊木板時(shí)的動(dòng)能E_k與它下滑高度h的關(guān)系式為E_k=3.25h，E_k-h圖象如上所示．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是將平拋運(yùn)動(dòng)沿著水平和豎直方向正交分解，根據(jù)位移時(shí)間關(guān)系公式和速度時(shí)間關(guān)系列式，同時(shí)對(duì)沿斜面加速過程運(yùn)用機(jī)械能守恒定律列式后聯(lián)立求解．