Question

8．某次摩托車的特技表演可簡化為如下模型，AB是長度為x的水平頂，BC是半徑為2R的$\frac{1}{4}$圓弧，DEG是半徑為R的$\frac{3}{4}$圓弧，D點在C點正上方，G點距右側水平面高度為R，質量為m的摩托車（可視為質點）在大小恒定的牽引力F作用下從A點由靜止出發(fā)，牽引力在ABC段的大小恒為F，摩托車經過C點時關閉發(fā)動機，之后沿豎直方向從D點進入上面的軌道做圓周運動，從G點脫離上方軌道，進入右側水平面，已知重力加速度為g，假設在ABC段摩托車所受阻力恒定，且為重力的k倍，忽略其在DEG段及空氣中所受的阻力
（1）為了使摩托車能安全通過軌道，求力F的最小值；
（2）若摩托車離開C點速度大小是$\sqrt{10gR}$，判斷摩托車能否安全通過上方圓弧軌道，若不能通過，計算在C點時應具有的最小速度；若能通過，求摩托車落在右側水平面的位置距離C點多遠．

Answer 1

分析 （1）根據牛頓第二定律求出E點的最小速度，對A到E過程運用動能定理，求出F的最小值．
（2）對C到E段運用動能定理，求出E點的速度，從而判斷能否通過上方圓弧軌道．若能通過，根據動能定理求出G點的速度，結合高度求出平拋運動的時間，從而求出水平位移，得出摩托車落在右側水平面的位置距離C點多遠．

解答 解：（1）為了使摩托車安全通過軌道，在E點有最小速度，根據$mg=m\frac{{{v}_{E}}^{2}}{R}$，
解得${v}_{E}=\sqrt{gR}$，
對A到E的過程運用動能定理得，F（x+πR）-kmg（x+πR）-mg（2R+R+2R）=$\frac{1}{2}m{{v}_{E}}^{2}-0$，
解得最小F=$\frac{5.5mgR+kmg（x+πR）}{x+πR}$．
（2）對C到E運用動能定理得，$-mg•3R=\frac{1}{2}m{{v}_{E}′}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{c}}^{2}$，
解得v_E′=$\sqrt{4gR}$＞v_E，知摩托車能安全通過上方的圓弧軌道，
對C到G點運用動能定理得，$-mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{G}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$，
解得v_G=$\sqrt{8gR}$，
根據R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得，t=$\sqrt{\frac{2R}{g}}$，
則摩托車落在右側水平面的位置距離C點的距離x=v_Gt-R=4R-R=3R．
答：（1）力F的最小值為$\frac{5.5mgR+kmg（x+πR）}{x+πR}$．
（2）能安全通過上方圓弧軌道，摩托車落在右側水平面的位置距離C點3R．

點評 本題考查了動能定理和圓周運動和平拋運動的綜合運用，知道圓周運動向心力的來源，以及平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動規(guī)律是解決本題的關鍵．