Question

2．如圖，矩形ABCD為一水平放置的玻璃磚（放在空氣中）的截面，在截面所在平面內(nèi)有一細(xì)束激光照射玻璃磚，入射點距底面的高度為h，反射光線和折射光線與底面所在平面的交點到AB的距離分別為l₁和l₂．在截面所在平面內(nèi)，改變激光束在AB面上入射點的高度和入射角的大小，當(dāng)折射光線與底面的交點到AB的距離為l₃時，光線恰好不能從底面射出．（已知光在空氣中的傳播速度為c），求：
（1）此時的入射角i；
（2）光從側(cè)面?zhèn)鞑サ降走叺臅r間t．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)幾何知識求出光線在AB上的入射角和折射角的正弦，從而求得玻璃磚的折射率．光線在AD面上恰好發(fā)生全反射，入射角等于臨界角，再由臨界角公式求解光線在底面發(fā)生全反射時的入射角，再由幾何關(guān)系求得此時的折射角，從而由折射定律求得此時的入射角i；
（2）由幾何關(guān)系求出光從側(cè)面?zhèn)鞑サ降走叺木嚯x，由v=$\frac{c}{n}$求出光在玻璃磚中傳播的速度，即可求得傳播時間t．

解答 解：（1）設(shè)玻璃磚的折射率為n，光線在AB上的入射角和反射角為θ₁，折射角為θ₂，根據(jù)幾何關(guān)系有
  sinθ₁=$\frac{h}{\sqrt{{l}_{1}^{2}+{h}^{2}}}$
  sinθ₂=$\frac{h}{\sqrt{{l}_{2}^{2}+{h}^{2}}}$
由光的折射定律得：
玻璃磚的折射率 n=$\frac{sin{θ}_{1}}{sin{θ}_{2}}$=$\frac{\sqrt{{l}_{2}^{2}+{h}^{2}}}{\sqrt{{l}_{1}^{2}+{h}^{2}}}$
設(shè)光線在底面發(fā)生全反射時的入射角為θ₃，有sinθ₃=$\frac{1}{n}$
幾何關(guān)系r+θ₃=90°
由折射定律有：sini=nsinr．
由以上四式得 sini=$\sqrt{\frac{{l}_{2}^{2}-{l}_{1}^{2}}{{l}_{1}^{2}+{h}^{2}}}$，得 i=arcsin$\sqrt{\frac{{l}_{2}^{2}-{l}_{1}^{2}}{{l}_{1}^{2}+{h}^{2}}}$
（2）光從側(cè)面?zhèn)鞑サ降走叺木嚯x s=$\frac{{l}_{3}}{sin{θ}_{3}}$
光在玻璃磚中傳播的速度 v=$\frac{c}{n}$
則光從側(cè)面?zhèn)鞑サ降走叺臅r間 t=$\frac{s}{v}$
聯(lián)立解得：t=$\frac{{（l}_{2}^{2}+{h}^{2}）{l}_{3}}{（{l}_{1}^{2}+{h}^{2}）c}$．
答：（1）此時的入射角i為arcsin$\sqrt{\frac{{l}_{2}^{2}-{l}_{1}^{2}}{{l}_{1}^{2}+{h}^{2}}}$；
（2）光從側(cè)面?zhèn)鞑サ降走叺臅r間t是$\frac{{（l}_{2}^{2}+{h}^{2}）{l}_{3}}{（{l}_{1}^{2}+{h}^{2}）c}$．

點評 本題是幾何光學(xué)問題，要正確作出光路圖，明確全反射的條件是解題的關(guān)系，能熟練應(yīng)用幾何知識求相關(guān)的角度和距離．