Question

8．如圖所示，在豎直空間有直角坐標(biāo)系xOy，其中x軸水平，在x軸正方向上有一釘子可自由移動，一長為2l的細(xì)繩一端系一個小球，另一端固定在y軸上P點(diǎn)，該點(diǎn)坐標(biāo)為（0，l），將小球拉至細(xì)繩呈水平狀態(tài)，然后由靜止釋放小球，細(xì)繩承受的最大拉力為9mg，為使小球下落后可繞釘子在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動到最高點(diǎn)，求釘子的坐標(biāo)范圍．

Answer 1

分析 當(dāng)小球恰好通過圓周運(yùn)動的最高點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律求出最高點(diǎn)的最小速度，結(jié)合機(jī)械能守恒和幾何關(guān)系求出x的最小坐標(biāo)；當(dāng)小球處于圓周運(yùn)動的最低點(diǎn)，且細(xì)繩張力恰好達(dá)到最大值時，根據(jù)牛頓第二定律求出最低點(diǎn)的速度，結(jié)合機(jī)械能守恒和幾何關(guān)系求出x的最大坐標(biāo)，從而得出x的坐標(biāo)范圍．

解答 解：當(dāng)小球恰好通過圓周運(yùn)動的最高點(diǎn)時，釘子在x正半軸的左側(cè)，則有：
$mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{r}_{1}}$，
小球由靜止到圓周運(yùn)動最高點(diǎn)這一過程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：
$mg（l-{r}_{1}）=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，
${x}_{1}=\sqrt{（2l-{r}_{1}）^{2}-{l}^{2}}$，
聯(lián)立解得：${x}_{1}=\frac{\sqrt{7}}{3}l$．
當(dāng)小球處于圓周運(yùn)動的最低點(diǎn)，且細(xì)繩張力恰好達(dá)到最大值時，釘子在x正半軸的最右側(cè)，則有：${F}_{max}-mg=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{{r}_{2}}$，
小球由靜止到圓周的最低點(diǎn)這一過程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：$mg（l+{r}_{2}）=\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}$，
${x}_{2}=\sqrt{（2l-{r}_{2}）^{2}-{l}^{2}}$，
聯(lián)立解得：${x}_{2}=\frac{4}{3}l$，
因而釘子在x正半軸上的范圍為：$\frac{\sqrt{7}}{3}l≤x≤\frac{4}{3}l$．
答：釘子的坐標(biāo)范圍為$\frac{\sqrt{7}}{3}l≤x≤\frac{4}{3}l$．

點(diǎn)評 本題主要考查了機(jī)械能守恒定律及向心力公式的直接應(yīng)用，抓住兩個臨界狀態(tài)，一個恰好能夠通過最高點(diǎn)，一個不能超過最大拉力，結(jié)合牛頓第二定律和機(jī)械能守恒綜合求解，難度適中．