Question

某科學(xué)研究完成了下面的兩個(gè)實(shí)驗(yàn)：
（1）當(dāng)飛船停留在距X星球一定高度的P點(diǎn)時(shí)正對(duì)著X星球發(fā)射一個(gè)激光脈沖，經(jīng)過時(shí)間t₁后收到返回來的信號(hào)，此時(shí)觀察X星球的視角為θ，如圖所示．
（2）當(dāng)飛船在X星球表面著陸后，把一個(gè)彈射器固定在星球的表面上，豎直向上彈射一個(gè)小球，經(jīng)測(cè)定小球從彈射到落回的時(shí)間為t₂．已知用上述彈射器在地球上做同樣的實(shí)驗(yàn)時(shí)，小球在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，又已知地球表面的重力加速度為g，萬有引力常量G，光速為c，地球和X星球的自轉(zhuǎn)以及它們對(duì)物體的大氣阻力均可不計(jì)，試根據(jù)以上信息，求：
①X星球的半徑R；
②X星球的平均密度ρ
③X星球的第一宇宙速度V；
④在X星球發(fā)射的衛(wèi)星的最小周期T．

Answer 1

分析：①先計(jì)算P點(diǎn)到星球表面的最短距離為

1

2

ct1，根據(jù)直角三角形的知識(shí)可得

R

(R+ 1 2 ct1)

=sin

θ

2

，化簡(jiǎn)即可解得X星球的半徑R．
②根據(jù)在X星球上以v₀初速度豎直上拋和在地球上以v₀初速度豎直上拋時(shí)的特點(diǎn)，可計(jì)算出該星球的表面重力加速度g₀．由在星球表面上的物體受到的重力等于萬有引力G

Mm

R2

=mg0，解得該星球的質(zhì)量M=

R2g0

G

，而該星球的體積為V=

4

3

πR3，根據(jù)密度的定義ρ=

M

V

，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．
③第一宇宙速度就是貼近星球表面飛行時(shí)的線速度，根據(jù)重力提供向心力mg0=m

v2

R

，得v=

Rg0

，代入數(shù)據(jù)化簡(jiǎn)即可解得v．
④當(dāng)以第一宇宙速度v運(yùn)行，衛(wèi)星有最小周期T，根據(jù)公式T=

2πR

v

化簡(jiǎn)即可．

解答：解：①飛船停留在距X星球一定高度的P點(diǎn)時(shí)正對(duì)著X星球發(fā)射一個(gè)激光脈沖，經(jīng)過時(shí)間t₁后收到返回來的信號(hào)，則P點(diǎn)到星球表面的最短距離為：

1

2

ct1．
根據(jù)幾何圖形，由直角三角形的知識(shí)可得

R

(R+ 1 2 ct1)

=sin

θ

2

即：(R+

1

2

ct1)sin

θ

2

=R
解得：R=

ct1sin θ 2

2(1-sin θ 2 )

②根據(jù)豎直上拋的特點(diǎn)：
在X星球上以v₀初速度豎直上拋時(shí)，t2=

2v0

g0

在地球上以v₀初速度豎直上拋時(shí)，t=

2v0

g

∴g0=

t

t2

g，
又由在星球表面上的物體受到的重力等于萬有引力G

Mm

R2

=mg0
所以M=

R2g0

G

，
而該星球的體積為V=

4

3

πR3
故ρ=

M

V

=

3g0

4πGR

=

3tg(1-sin θ 2 )

2πGct1t2sin θ 2

③第一宇宙速度就是貼近星球表面飛行時(shí)的線速度，此時(shí)重力等于萬有引力，
根據(jù)萬有引力提供向心力mg0=m

v2

R

∴v=

Rg0

把R和g0=

t

t2

g的值代入得：
v=

gctt1sin θ 2 2t2(1-sin θ 2 )

④當(dāng)以第一宇宙速度v運(yùn)行，衛(wèi)星有最小周期T
T=

2πR

v

=π

2ct1t2sin θ 2 gt(1-sin θ 2 )

答：①X星球的半徑R為

ct1sin θ 2

2(1-sin θ 2 )

；
②X星球的平均密度ρ為

3tg(1-sin θ 2 )

2πGct1t2sin θ 2

③X星球的第一宇宙速度V為

gctt1sin θ 2 2t2(1-sin θ 2 )

；
④在X星球發(fā)射的衛(wèi)星的最小周期T為π

2ct1t2sin θ 2 gt(1-sin θ 2 )

．

點(diǎn)評(píng)：重力加速度g是天體運(yùn)動(dòng)研究和天體表面宏觀物體運(yùn)動(dòng)研究聯(lián)系的物理量．本題要求學(xué)生掌握兩種等式：一是物體所受重力等于其吸引力；二是物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)其向心力由萬有引力提供．