Question

1．如圖所示，在以O(shè)為圓心的圓形區(qū)域內(nèi)，有一個方向垂直于紙面向外的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小B=0.1T，圓半徑R=10$\sqrt{3}$cm，豎直平行放置的金屬板連接在如圖所示的電路中，電源電動勢E=91V，內(nèi)阻r=1Ω，定值電阻R₁=20Ω，滑動變阻器R₂的最大阻值為70Ω；兩金屬板上的小孔S₁、S₂跟O點在垂直于極板的同一直線上，另有一水平放置的足夠長的熒光屏D，O點跟熒光屏D之間的距離H=20$\sqrt{3}$cm，現(xiàn)有比荷$\frac{q}{m}$=4×10⁵C/kg的正正離子由小孔S₁進(jìn)入電場加速后，從小孔S₂穿出，通過磁場后打在熒光屏D上，不計離子的重力和離子在小孔S₁處的初速度，問：
（1）若離子能垂直打在熒光屏上，則電壓表的示數(shù)多大？
（2）滑動變阻器滑片P的位置不同，離子在磁場中運動的時間也不同，求離子在磁場中運動的最長時間和此種情況下打在熒光屏上的位置到屏中心O′點的距離．

Answer 1

分析 （1）正離子垂直打在熒光屏上，由幾何知識求出在磁場中做圓周運動的半徑．離子在磁場中由洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求得速度．離子在電場中加速過程，由動能定理求得兩金屬板間的電壓，即為電壓表的示數(shù)．
（2）滑片在變阻器R₂的左端時，離子在磁場中運動的時間最長；先根據(jù)閉合電路歐姆定律求解極板間的電壓，然后根據(jù)動能定理求解加速后的速度，根據(jù)牛頓第二定律求解磁場中圓周運動的半徑，結(jié)合幾何關(guān)系確定打在極板上的位置．

解答 解：（1）若離子由電場射出進(jìn)入磁場后垂直打在熒光屏上，
則離子在磁場中速度方向偏轉(zhuǎn)了90°，
離子在磁場中做圓周運動的徑跡如圖所示：

由幾何知識可知，離子在磁場中做圓周運動的圓半徑：r₁=R=10$\sqrt{3}$cm，
設(shè)離子進(jìn)入磁場時的速度為v₁，洛倫茲力提供離子做圓周運動的向心力，
由牛頓第二定律得：qv₁B=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$，解得：r₁=$\frac{m{v}_{1}}{qB}$，
設(shè)兩金屬板間的電壓為U，離子在電場中加速，
由動能定理有：qU₁=$\frac{1}{2}$mv₁²-0，解得：U₁=$\frac{q{B}^{2}{r}_{1}^{2}}{2m}$，
解得：U₁=60V，即：電壓表示數(shù)為60V；
（2）兩金屬板間的電壓越小，離子經(jīng)電場加速后速度也越小，
離子在磁場中作圓周運動的半徑越小，射出電場時的偏轉(zhuǎn)角越大，
在磁場中運動的時間越長，所以滑片在變阻器R₂的左端時，
離子在磁場中運動的時間最長．
由閉合電路歐姆定律有：I=$\frac{E}{{R}_{1}+{R}_{2}+r}$=1A，
兩金屬板間電壓：U_min=IR₁=20V，
由動能定理得：qU_min=$\frac{1}{2}$mv₂²-0，離子軌道半徑：r₂=$\frac{m{v}_{2}}{qB}$，
解得：r₂=0.1m，

粒子進(jìn)入磁場后的徑跡如圖所示，O₁為徑跡圓的圓心．
由圖可得：tanα=$\frac{R}{{r}_{2}}$，所以α=60°．
故離子在磁場中運動的最長時間為：t=$\frac{1}{3}$T≈5.2×10^-5s，
在△OO'A中，θ=30°，所以A、O'間距離為：x=Htanθ=20cm．
答：（1）若離子能垂直打在熒光屏上，則電壓表的示數(shù)為60V；
（2）離子在磁場中運動的最長時間為5.2×10^-5s，此種情況下打在熒光屏上的位置到屏中心O′點的距離為20cm

點評 本題題考查了離子在電場與磁場中的運動，分析清楚離子的運動情況是求解的關(guān)鍵和基礎(chǔ)，考查綜合應(yīng)用電路、磁場和幾何知識，處理帶電粒子在復(fù)合場中運動問題的能力，綜合性較強．