Question

14．某課外小組經長期觀測，發(fā)現靠近某行星周圍有眾多衛(wèi)星，且相對均勻地分布于行星周圍，假設所有衛(wèi)星繞該行星的運動都是勻速圓周運動，通過天文觀測，測得離行星最近的一顆衛(wèi)星的運動半徑為R₁，周期為T₁，已知萬有引力常為G．求：
（1）若行星的半徑為R，行星的第一宇宙速度；
（2）通過天文觀測，發(fā)現離行星很遠處還有一顆衛(wèi)星，其運動半徑為R₂，周期為T₂，試估算靠近行星周圍眾多衛(wèi)星的總質量．

Answer 1

分析 （1）根據萬有引力提供向心力求出行星的質量，第一宇宙速度等于貼近行星表面做勻速圓周運動的速度，根據萬有引力提供向心力求出行星的第一宇宙速度．
（2）因為行星周圍的衛(wèi)星均勻分布，研究很遠的衛(wèi)星可把其他衛(wèi)星和行星整體作為中心天體，根據萬有引力提供向心力求出行星和其它衛(wèi)星的總質量，從而得出靠近行星周圍眾多衛(wèi)星的總質量．

解答 解：（1）由$G\frac{Mm}{{{R}_{1}}^{2}}=m{R}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{1}}^{2}}$         ①
得該行星質量$M=\frac{4{π}^{2}{{R}_{1}}^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}$      ②
由　$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$　       ③
得第一宇宙速度：v=$\frac{2π{R}_{1}}{{T}_{1}}\sqrt{\frac{{R}_{1}}{R}}$     ④
（2）因為行星周圍的衛(wèi)星均勻分布，研究很遠的衛(wèi)星可把其他衛(wèi)星和行星整體作為中心天體，由$\frac{G{M}_{總}m}{{{R}_{2}}^{2}}=m{R}_{2}\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{2}}^{2}}$    ⑤
得行星和其它衛(wèi)星的總質量${M}_{總}=\frac{4{π}^{2}{{R}_{2}}^{3}}{G{{T}_{2}}^{2}}$     ⑥
所以靠近該行星周圍的眾多衛(wèi)星總質量 $△M=\frac{4{π}^{2}{{R}_{2}}^{3}}{G{{T}_{2}}^{2}}-\frac{4{π}^{2}{{R}_{1}}^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}$         ⑦
答：（1）行星的第一宇宙速度為$\frac{2π{R}_{1}}{{T}_{1}}\sqrt{\frac{{R}_{1}}{R}}$；
（2）靠近行星周圍眾多衛(wèi)星的總質量為 $\frac{4{π}^{2}{{R}_{2}}^{3}}{G{{T}_{2}}^{2}}-\frac{4{π}^{2}{{R}_{1}}^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}$．

點評 解決本題的關鍵理解第一宇宙速度的意義，掌握萬有引力提供向心力這一重要理論，并能靈活運用．