Question

7．如圖所示，一半徑為R，內(nèi)表面粗糙程度處處相同的半圓形軌道豎直固定放置，直徑POQ水平．一質(zhì)量為m的小球自P點(diǎn)正上方高度R處由靜止開始下落，恰好從P點(diǎn)進(jìn)入軌道．小球滑到軌道最低點(diǎn)N時(shí)，對軌道的壓力為4mg，重力加速度的大小為g，小球可視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力．
（1）求小球運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)時(shí)的速度大��；
（2）求小球從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)的過程中摩擦力所做的功；
（3）試通過計(jì)算分析說明小球能否到達(dá)Q點(diǎn)？若不能，請說明理由；若能，請說明小球到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)的速度是否為0．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)小球在N點(diǎn)時(shí)的受力情況在豎直方向上應(yīng)用牛頓第二定律得到小球在 N點(diǎn)的速度；
（2）對小球從靜止開始運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)的過程應(yīng)用動(dòng)能定理求得摩擦力做的功，即小球從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)的過程中摩擦力所做的功；
（3）分析小球在右半側(cè)的摩擦力與左半側(cè)摩擦力的情況，然后得到兩邊摩擦力做功的大小關(guān)系，再對從靜止到Q點(diǎn)應(yīng)用動(dòng)能定理即可．

解答 解：（1）小球運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)時(shí)，在豎直方向上只受重力和軌道對球的支持力作用；
小球滑到軌道最低點(diǎn)N時(shí)，對軌道的壓力為4mg，由牛頓第三定律可知：軌道對球的支持力為4mg；
故在豎直方向上應(yīng)用牛頓第二定律可得：$4mg-mg=\frac{m{{v}_{N}}^{2}}{R}$，所以，${v}_{N}=\sqrt{3gR}$；
（2）小球從靜止運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)的過程中只有重力、摩擦力做功，而摩擦力只存在于從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)的過程中，
所以，由動(dòng)能定理可得：小球從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)的過程中摩擦力所做的功$W=\frac{1}{2}m{{v}_{N}}^{2}-2mgR=\frac{3}{2}mgR-2mgR=-\frac{1}{2}mgR$；
（3）根據(jù)左右對稱關(guān)系，在同一高度，由于摩擦力做功使得右半邊的速度變小，軌道對求的支持力變小，故滑動(dòng)摩擦力變��；
因此從N到Q克服摩擦做的功-W′小于從P到N克服摩擦做的功-W，即$-W′＜-W=\frac{1}{2}mgR$；
對小球從靜止運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)應(yīng)用動(dòng)能定理可得：Q點(diǎn)的動(dòng)能為${E}_{kQ}=mgR+W+W′=\frac{1}{2}mgR+W′＞0$；
所以小球一定能達(dá)到Q點(diǎn)，且在到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)的速度沒有減小到0．
答：（1）小球運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)時(shí)的速度大小為$\sqrt{3gR}$；
（2）小球從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)的過程中摩擦力所做的功為$-\frac{1}{2}mgR$；
（3）小球能到達(dá)Q點(diǎn)，且小球到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)的速度不為0．

點(diǎn)評 物體運(yùn)動(dòng)學(xué)問題，一般先對物體進(jìn)行受力分析，然后由牛頓第二定律，根據(jù)運(yùn)動(dòng)規(guī)律求得物體運(yùn)動(dòng)過程量；由動(dòng)能定理求取物體某一時(shí)刻的狀態(tài)量．