Question

6．如圖所示，以A、B和C、D為端點(diǎn)的半徑為R=0.9m的兩半圓形光滑軌道固定于豎直平面內(nèi)，A、D之間放一水平傳送帶Ⅰ，B、C之間放一水平傳送帶Ⅱ，傳送帶Ⅰ以V₁=8m/s的速度沿圖示方向勻速運(yùn)動(dòng)，傳送帶Ⅱ以V₂=10m/s的速度沿圖示方向勻速運(yùn)動(dòng)．現(xiàn)將質(zhì)量為m=2kg的物塊從傳送帶Ⅰ的右端由靜止放上傳送帶，物塊運(yùn)動(dòng)第一次到A時(shí)恰好能沿半圓軌道滑下．物塊與傳送帶Ⅱ間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₂=0.35，不計(jì)物塊的大小及傳送帶與半圓軌道間的間隙，重力加速度g=10m/s²，已知A、D端之間的距離為L(zhǎng)=1.0m．求：
（1）物塊與傳送帶Ⅰ間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁；
（2）物塊第1次回到D點(diǎn)時(shí)的速度；
（3）物塊第幾次回到D點(diǎn)時(shí)的速度達(dá)到最大，最大速度為多大．

Answer 1

分析 （1）對(duì)小物塊第一次運(yùn)動(dòng)到傳送帶最左端時(shí)的速度的大小這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生一般會(huì)想把它作為DA段的末速u度來(lái)求，但是再進(jìn)一步就走不動(dòng)了，因?yàn)轭}目沒(méi)給DA段的摩擦力，也沒(méi)給摩擦因數(shù)，或者其他一些提示，比如說(shuō)摩擦力為重力的幾分之幾．因?yàn)椴恢�道摩擦力，所以�?dòng)能定理當(dāng)然也不能用．
因此個(gè)問(wèn)題就要再回到題目中仔細(xì)看題干，題干當(dāng)中有這樣一句：“小物塊第一次運(yùn)動(dòng)到傳送帶最左端時(shí)恰好能從A點(diǎn)沿半圓軌道滑下”，題眼就在這里了．句中的“恰好能從A點(diǎn)沿半圓軌道滑下”就是題眼，打開(kāi)這個(gè)題就從里開(kāi)始．（題眼找不到，題目就打不開(kāi)，余下的問(wèn)題一個(gè)都做不了，所以找出“題眼”很關(guān)鍵．）這句話涉及到我們?cè)趯W(xué)的繩桿模型問(wèn)題，我們區(qū)分繩桿模型的依據(jù)是這個(gè)裝置在最高點(diǎn)是否能為物體提供向上的支持力，所以這個(gè)軌道實(shí)際就是一個(gè)繩的模型．
而“恰好能從A點(diǎn)沿半圓軌道滑下”，說(shuō)明的是圓軌道AB的最高點(diǎn)A位置恰好是重力充當(dāng)向心力，由此可以解出小物塊第一次運(yùn)動(dòng)到傳送帶最左端時(shí)的速度的大小．
因?yàn)樵诘谝粏?wèn)已經(jīng)求的A點(diǎn)的速度，要求摩擦因數(shù)可以用DA段的運(yùn)動(dòng)了．第一問(wèn)的計(jì)算結(jié)果是：v=3m/s它小于傳送帶的速度8m/s，所以可以知道摩擦力在全程做功，因此列出動(dòng)能定理方程，可以解得摩擦因數(shù)．
（2）這一問(wèn)要有全局觀念，我們可以選擇從D到A經(jīng)BC再回到D這個(gè)過(guò)程，來(lái)應(yīng)用一次動(dòng)能定理．這個(gè)過(guò)程中摩擦力做功，列出動(dòng)能定理就可解得結(jié)果．
（3）先說(shuō)明一下，這一問(wèn)非常難，一般不會(huì)考到這個(gè)難度的題，即使現(xiàn)在作為高考的壓軸題也少見(jiàn)這個(gè)難度的．以前物理單獨(dú)考的時(shí)候有這個(gè)難度的，現(xiàn)在極少見(jiàn)了，不會(huì)的也不用氣餒．來(lái)說(shuō)一下分析思路，物體會(huì)在n次加速之后回到D點(diǎn)時(shí)，速度等于傳送帶的速度，這之后，傳送帶不再給物體加速

解答 解析：（1）由題意可知，物塊第一次到達(dá)A點(diǎn)時(shí)應(yīng)滿足：
$mg=\frac{{mv}_{A1}^{2}}{R}$
解得：V_A1=3 m/s＜V₁
故物塊從D到A的過(guò)程中全程加速，由動(dòng)能定理得：
${μ}_{1}mgL=\frac{1}{2}{mv}_{A1}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：μ₁=0.45                                       
（2）設(shè)物塊第一次從B到C全程加速，則物塊第一次由D經(jīng)A、B到C的過(guò)程，由動(dòng)能定理得：
${μ}_{1}mgL+2mgR+{μ}_{2}mgL=\frac{1}{2}{mv}_{C1}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：V_C1=$\sqrt{33}$m/s＜V₂
故假設(shè)成立，則物塊由D出發(fā)到第一次回到D的過(guò)程，由動(dòng)能定理：
${μ}_{1}mgL+{μ}_{2}mgL=\frac{1}{2}{mv}_{D1}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：V_D1=4m/s                                
（3）設(shè)每次物塊在兩傳送帶上都是全程加速，第N次到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度恰好等于V₂，
${Nμ}_{1}mgL+2mgR+{Nμ}_{2}mgL=\frac{1}{2}{mv}_{2}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：N=4
同理，設(shè)第n次到達(dá)D點(diǎn)時(shí)的速度恰好等于V₁，則由動(dòng)能定理得：
${nμ}_{1}mgL+{nμ}_{2}mgL=\frac{1}{2}{mv}_{1}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：n=4=N
故第4次回到D點(diǎn)速度達(dá)到最大，之后每次都在傳送帶上勻速
綜上分析可知在D點(diǎn)的最大速度為8m/s        
答：（1）物塊與傳送帶Ⅰ間的動(dòng)摩擦因數(shù)是0.45；
（2）物塊第1次回到D點(diǎn)時(shí)的速度是4m/s；
（3）物塊第幾次回到D點(diǎn)時(shí)的速度達(dá)到最大，最大速度為8m/s

點(diǎn)評(píng) 本題由兩個(gè)難點(diǎn)，一是在找到“題眼”解決第一問(wèn)，以此來(lái)打開(kāi)整個(gè)題目．這個(gè)還有點(diǎn)技巧可以用，就是要注意題目中一些臨界性質(zhì)的表述，比如常見(jiàn)到的“恰好”“剛好”“剛剛”等，指的就是一些臨界情況，解題應(yīng)予以關(guān)注．
二是在第3問(wèn)是個(gè)大難點(diǎn)，并且這個(gè)也沒(méi)什么技巧可用，全憑經(jīng)驗(yàn)和綜合分析能力了