Question

伴隨著神舟系列載人飛船的陸續(xù)升空，“嫦娥一號”探月成功發(fā)射，我國作為航天大國，其實(shí)力不斷增強(qiáng)，萬有引力與航天問題也成為百性關(guān)注的熱點(diǎn)話題．若已知萬有引力常量G，地球半徑R，地球和月亮之間的距離r，同步衛(wèi)星距地面的高度h，月球繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的周期T₁，地球的自轉(zhuǎn)的周期T₂，地球表面的重力加速度g．小霞同學(xué)根據(jù)以上條件，提出一種估算地球質(zhì)量M的方法：她認(rèn)為同步衛(wèi)星繞地心作圓周運(yùn)動，由于衛(wèi)星距地面較高，則地球半徑可忽略不計(jì)，然后進(jìn)行估算，由G

Mm

h2

=mh(

2π

T2

)2可得M=

4π2h3

G T 2 2

．
（1）請你判斷一下小霞同學(xué)的計(jì)算方法和結(jié)果是否正確，并說明理由．如不正確，請給出正確的解法和結(jié)果．
（2）請根據(jù)已知條件能否探究出兩種估算地球質(zhì)量的方法并解得結(jié)果．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)萬有引力提供向心力，列式求解，地球半徑較大，不能忽略；
（2）對月球或地球應(yīng)用萬有引力提供向心力，也可根據(jù)在地球表面重力等于向心力求解．

解答：解（1）小霞同學(xué)的計(jì)算方法和結(jié)果都是不正確的．因?yàn)榈厍虬霃絉在計(jì)算過程中不能忽略．
正確的解法和結(jié)果為：
G

Mm

(R+h)2

=m(

2π

T2

)2(R+h)
解得：M=

4π2(R+h)3

GT22

（2）利用萬有引力與圓周運(yùn)動向心力和重力的關(guān)系有：
方法一：萬有引力提供月球繞地作圓周運(yùn)動的向心力，
因此有G

Mm

r2

=m(

2π

T1

)2r，
故有M=

4π2r3

G T 2 1

方法二：在地球表面重力近似等于萬有引力：
G

Mm

R2

=mg，
故有M=

gR2

G

答：（1）小霞同學(xué)的計(jì)算方法和結(jié)果都是不正確的．因?yàn)榈厍虬霃絉在計(jì)算過程中不能忽略．正確的解法和結(jié)果如上所述．
（2）根據(jù)已知條件，還有兩種估算地球質(zhì)量的方法，其方法和結(jié)果如上所述．

點(diǎn)評：本題關(guān)鍵抓住萬有引力提供向心力或在地球表面重力等于萬有引力．