Question

6．如圖甲所示，光滑水平面上一正方形金屬框，邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，質(zhì)量為m，總電阻為R，勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直于水平面向里，磁場(chǎng)寬度為3L，金屬框在拉力作用下向右以速度v₀勻速進(jìn)入磁場(chǎng)，并保持v₀勻速直線到達(dá)磁場(chǎng)右邊界，速度方向始終與磁場(chǎng)邊界垂直．當(dāng)金屬框cd邊到達(dá)磁場(chǎng)左邊界時(shí)，勻強(qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小按如圖乙所示的規(guī)律變化．
（1）金屬框從進(jìn)入磁場(chǎng)到cd邊到達(dá)磁場(chǎng)右邊界的過程中，求通過回路的焦耳熱Q及拉力對(duì)金屬框做功W；
（2）金屬框cd邊到達(dá)磁場(chǎng)右邊界后，若無(wú)拉力作用且金屬框能穿出磁場(chǎng)，求金屬框離開磁場(chǎng)右邊界過程中通過回路的電荷量q及穿出后的速度v₁．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律分別求出金屬框進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)和完全在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的過程中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，再根據(jù)閉合電路的歐姆定律求解感應(yīng)電流的大小，利用焦耳定律計(jì)算產(chǎn)生的熱量，根據(jù)功能關(guān)系得到對(duì)金屬框做的功；
（2）對(duì)金屬框離開磁場(chǎng)過程中，根據(jù)電荷量的經(jīng)驗(yàn)公式求解電荷量大小，對(duì)金屬框由動(dòng)量定理求解穿出后的速度v₁．

解答 解：（1）金屬框進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為：E₁=B₀Lv₀；
產(chǎn)生逆時(shí)針方向的感應(yīng)電流，其大小為：I₁=$\frac{{E}_{1}}{R}$=$\frac{{B}_{0}L{v}_{0}}{R}$
產(chǎn)生的焦耳熱為：Q₁=I₁²R$•\frac{L}{{v}_{0}}$；
聯(lián)立解得：Q₁=$\frac{{B}_{0}^{2}{L}^{3}{v}_{0}}{R}$；
金屬框完全在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的過程中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：E₂=$\frac{△B}{△t}•S$=$\frac{{B}_{0}L{v}_{0}}{2}$；
產(chǎn)生逆時(shí)針方向的感應(yīng)電流，其大小為：I₂=$\frac{{E}_{2}}{R}$=$\frac{{B}_{0}L{v}_{0}}{2R}$；
產(chǎn)生的焦耳熱為：Q₂=I₂²R$•\frac{2L}{{v}_{0}}$；
聯(lián)立解得：Q₂=$\frac{{B}_{0}^{2}{L}^{3}{v}_{0}}{2R}$；
金屬框從進(jìn)入磁場(chǎng)到cd邊到達(dá)磁場(chǎng)右邊界的過程中，回路的焦耳熱Q為：
Q=Q₁+Q₂=$\frac{{3B}_{0}^{2}{L}^{3}{v}_{0}}{2R}$；
金屬框在磁場(chǎng)內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，拉力為零不做功，對(duì)金屬框進(jìn)入磁場(chǎng)的過程中，根據(jù)功能關(guān)系可得：
W=Q₁=$\frac{{B}_{0}^{2}{L}^{3}{v}_{0}}{R}$；
（2）對(duì)金屬框離開磁場(chǎng)過程中，
E=$\frac{△Φ}{△t}$，I=$\frac{E}{R}$，
根據(jù)電流的計(jì)算公式可得：q=I△t=$\frac{△Φ}{R}$，
其中△Φ=2B₀L²，
聯(lián)立解得：q=$\frac{2{B}_{0}{L}^{2}}{R}$；
離開磁場(chǎng)過程中，對(duì)金屬框由動(dòng)量定理可得：
-2B₀It=m△v，
即：-2B₀Lq=m（v₁-v₀），
聯(lián)立解得：v₁=v₀-$\frac{4{B}_{0}^{2}{L}^{3}}{mR}$．
答：（1）金屬框從進(jìn)入磁場(chǎng)到cd邊到達(dá)磁場(chǎng)右邊界的過程中，通過回路的焦耳熱為$\frac{{3B}_{0}^{2}{L}^{3}{v}_{0}}{2R}$；拉力對(duì)金屬框做功為$\frac{{B}_{0}^{2}{L}^{3}{v}_{0}}{R}$；
（2）金屬框離開磁場(chǎng)右邊界過程中通過回路的電荷量為$\frac{2{B}_{0}{L}^{2}}{R}$，穿出后的速度為v₀-$\frac{4{B}_{0}^{2}{L}^{3}}{mR}$．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于電磁感應(yīng)問題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點(diǎn)是分析安培力作用下導(dǎo)體棒的平衡問題，根據(jù)平衡條件列出方程；另一條是能量，分析涉及電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的能量轉(zhuǎn)化問題，根據(jù)動(dòng)能定理、功能關(guān)系等列方程求解．