Question

【題目】從宏觀現(xiàn)象中總結(jié)出來(lái)的經(jīng)典物理學(xué)規(guī)律不一定都能適用于微觀體系。但是在某些問(wèn)題中利用經(jīng)典物理學(xué)規(guī)律也能得到與實(shí)際比較相符合的結(jié)論。根據(jù)玻爾的氫原子模型，電子的運(yùn)動(dòng)看做經(jīng)典力學(xué)描述下的軌道運(yùn)動(dòng)，原子中的電子在庫(kù)侖力作用下，繞原子核做圓周運(yùn)動(dòng)。已知電子質(zhì)量為m，電荷量為e，靜電力常量為k。氫原子處于基態(tài)（n=1）時(shí)電子的軌道半徑為r1，電勢(shì)能為（取無(wú)窮遠(yuǎn)處電勢(shì)能為零)。第n個(gè)能級(jí)的軌道半徑為rn，已知rn=n2 r1，氫原子的能量等于電子繞原子核運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能、電子與原子核系統(tǒng)的電勢(shì)能的總和。

（1）求氫原子處于基態(tài)時(shí)，電子繞原子核運(yùn)動(dòng)的速度；

（2）證明：氫原子處于第n個(gè)能級(jí)的能量為基態(tài)能量的（n=1，2，3，…）；

（3）1885年，巴爾末對(duì)當(dāng)時(shí)已知的在可見光區(qū)的四條譜線做了分析，發(fā)現(xiàn)這些譜線的波長(zhǎng)能夠用一個(gè)公式表示，這個(gè)公式寫做，n = 3，4，5，…。式中R叫做里德伯常量，這個(gè)公式稱為巴爾末公式。已知?dú)湓�子基態(tài)的能量為E1，用h表示普朗克常量，c表示真空中的光速， 求：

a．里德伯常量R的表達(dá)式；

b．氫原子光譜巴爾末系最小波長(zhǎng)與最大波長(zhǎng)之比。

Answer 1

【答案】（1） （2）設(shè)電子在第1軌道上運(yùn)動(dòng)的速度大小為v1，根據(jù)牛頓第二定律有，電子在第1軌道運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能，電子在第1軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)氫原子的能量，同理，電子在第n軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)氫原子的能量，又因?yàn)?/span>，則有 ，命題得證。（3）a： b：5:9

【解析】

（1）電子繞氫原子核在第1軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)

根據(jù)牛頓第二定律有

則有

（2）設(shè)電子在第1軌道上運(yùn)動(dòng)的速度大小為v1，根據(jù)牛頓第二定律有

電子在第1軌道運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能

電子在第1軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)氫原子的能量

同理，電子在第n軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)氫原子的能量，又因?yàn)?/span>

則有 ，命題得證。

（3）a：從n能級(jí)向2能級(jí)躍遷放出光的波長(zhǎng)為

由 代入得：

b：由可知當(dāng)n=3時(shí)波長(zhǎng)最大，當(dāng)n=∞時(shí)波長(zhǎng)最小

代入可得，最小波長(zhǎng)與最大波長(zhǎng)之比為5:9。