Question

4．在絕緣的光滑水平桌面上，有三個(gè)帶電小球A、B、C，帶電量均為Q（正電），每個(gè)小球的質(zhì)量均為m，各自位置分別位于邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，如圖所示．假設(shè)本題中的帶電小球均被視為點(diǎn)電荷，不計(jì)彼此間的萬(wàn)有引力作用．
（1）在三角形的中心O點(diǎn)應(yīng)放置一個(gè)帶何種帶電性質(zhì)、多少電量的帶電小球，才能使四個(gè)小球都能靜止？
（2）若中心電荷的帶電量在（1）問(wèn)基礎(chǔ)上增加到原來(lái)的4倍，為了保持外圍三個(gè)小球的相對(duì)位置不變，需讓它們圍繞中心電荷同時(shí)旋轉(zhuǎn)起來(lái)，求它們旋轉(zhuǎn)的線(xiàn)速度大小．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)幾何關(guān)系解出中心O點(diǎn)到三角形頂點(diǎn)的距離，每一個(gè)帶電小球都處于靜止?fàn)顟B(tài)，不妨研究A球，A球受力平衡，BC兩球的對(duì)A是庫(kù)侖斥力，O點(diǎn)的電荷2對(duì)A是庫(kù)侖引力，列方程化簡(jiǎn)即可．
（2）若中心電荷帶電荷量在（1）問(wèn)基礎(chǔ)上增加到原來(lái)的4倍，仍然研究A球，先求出A球受到的合力，再根據(jù)牛頓第二定律計(jì)算線(xiàn)速度．

解答 解：（1）由幾何關(guān)系知：r=|AO|=$\frac{\frac{L}{2}}{cos30°}$L=$\frac{\sqrt{3}}{3}$L，A球受到BC兩個(gè)正電荷的排斥力，合力的方向由O點(diǎn)指向A點(diǎn)；A受力平衡，則有：
F₂=$\frac{kQq}{{r}^{2}}$=F₁=2Fcos 30°   
其中F=$\frac{k{Q}^{2}}{{L}^{2}}$，
所以q=$\frac{\sqrt{3}}{3}$Q，由F₂的方向知q帶負(fù)電．
（2）當(dāng)q′=4q時(shí)，F(xiàn)₂′=4F₂   
A球的合力F_合=F₂′-F₁=4F₂-F₁=3F₁=$\frac{3\sqrt{3}k{Q}^{2}}{{L}^{2}}$；
由牛頓第二定律：$\frac{3\sqrt{3}k{Q}^{2}}{{L}^{2}}$=$\frac{m{v}^{2}}{r}$．
代入數(shù)據(jù)聯(lián)立得：v=$\sqrt{\frac{3k{Q}^{2}}{mL}}$
答：（1）在三角形的中心應(yīng)放置負(fù)電荷，電荷量為$\frac{\sqrt{3}}{3}$Q．
（2）它們旋轉(zhuǎn)的線(xiàn)速度大小為$\sqrt{\frac{3k{Q}^{2}}{mL}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是要能正確的選擇研究對(duì)象，由于三個(gè)小球均處于靜止?fàn)顟B(tài)，以其中一個(gè)球?yàn)檠芯繉?duì)象根據(jù)平衡條件得出中心O點(diǎn)的電荷量，根據(jù)受力方向判斷電荷的正負(fù)．