Question

8．如圖所示，在坐標(biāo)系xOy的第1、4象限有沿x軸正方向的勻強(qiáng)電場，在第2、3象限內(nèi)有沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場，在第2象限中有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，一質(zhì)量為m，電荷量為q的帶電粒子從y軸上P點(diǎn)沿與y軸正方向45°角的初速度進(jìn)入第3象限，初速度的大小為v，粒子在第3象限內(nèi)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入第2象限后粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，并以與y軸負(fù)方向45°角進(jìn)入第1象限，在第1、4象限里運(yùn)動(dòng)后恰好能到達(dá)P點(diǎn)，第1、4象限內(nèi)的電場強(qiáng)度與第2、3象限內(nèi)的電場強(qiáng)度大小相同，求：
（1）P點(diǎn)的坐標(biāo)及磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小；
（2）粒子從P點(diǎn)出發(fā)再回到P點(diǎn)所用的時(shí)間；
（3）若粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)到某時(shí)刻時(shí)撤去磁場，如果粒子能連續(xù)兩次通過y軸上的某一點(diǎn)，求粒子從P點(diǎn)出發(fā)到第二次通過y軸所用時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）粒子在第3象限內(nèi)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入第2象限后粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，可知粒子受到的電場力與重力大小相等，方向相反，由此得出電場力的大小；根據(jù)粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的對稱性畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，確定粒子進(jìn)入第一象限的速度的方向，然后將運(yùn)動(dòng)沿水平方向與豎直方向分解，即可求出豎直方向粒子的位移，然后結(jié)合幾何關(guān)系求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間、P的坐標(biāo)、粒子的半徑以及磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（2）粒子粒子在第3象限內(nèi)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入第2象限后粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，分別求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，三段時(shí)間的和即為所求；
（3）若粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)到某時(shí)刻時(shí)撤去磁場，如果粒子能連續(xù)兩次通過y軸上的某一點(diǎn)，則撤去磁場時(shí)，粒子運(yùn)動(dòng)的方向與電場力、重力合力的方向在同一條直線上，分別求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，四段時(shí)間的和即為所求．

解答 解：（1）粒子在第3象限內(nèi)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，可知粒子受到的電場力與重力大小相等，方向相反，由此得出電場力的大�。簈E=mg…①；
根據(jù)粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的對稱性畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖1，
由圖可知粒子在第二象限中的軌跡是半圓，進(jìn)入第一象限的速度的方向與y軸反方向之間的夾角是45°，
然后將運(yùn)動(dòng)沿水平方向與豎直方向分解，水平方向：
${a}_{x}=\frac{qE}{m}=\frac{mg}{m}=g$
由于水平發(fā)展做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，到達(dá)P時(shí)，水平速度的大小與原速度相等，方向相反，所以：
${a}_{x}t=-{v}_{x}-{v}_{x}=-{2v}_{x}=2vsin45°=\sqrt{2}v$
所以：${t}_{1}=\frac{\sqrt{2}v}{g}$…②
在豎直方向：$y={v}_{y}t+\frac{1}{2}g{t}^{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}v×\frac{\sqrt{2}v}{g}+\frac{1}{2}g×（\frac{\sqrt{2}v}{g}）^{2}$=$\frac{2{v}^{2}}{g}$
由圖可知，$\overline{OP}=\frac{1}{2}y=\frac{{v}^{2}}{g}$
P的坐標(biāo)為：（0，-$\frac{{v}^{2}}{g}$）
粒子的半徑：$r=\frac{1}{2}•\frac{\overline{OM}}{cos45°}=\frac{\sqrt{2}}{2}•\overline{OM}=\frac{\sqrt{2}}{2}\overline{OP}=\frac{\sqrt{2}{v}^{2}}{2g}$…③
粒子在第二象限中，受到的電場力與重力大小相等，方向相反，洛倫茲力提供向心力，得：
$qvB=\frac{m{v}^{2}}{r}$…④
所以磁感應(yīng)強(qiáng)度：$B=\frac{mv}{qr}=\frac{\sqrt{2}mg}{qv}$…⑤
（2）粒子粒子在第3象限內(nèi)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：${t}_{2}=\frac{\overline{MP}}{v}=\frac{\sqrt{2}\overline{OP}}{v}=\frac{\sqrt{2}v}{g}$…⑥
粒子進(jìn)入第2象限后粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是半個(gè)周期，所以：
${t}_{3}=\frac{1}{2}T=\frac{1}{2}×\frac{2πr}{v}=\frac{πr}{v}$=$\frac{\sqrt{2}πv}{2g}$…⑦
三段時(shí)間的和即為粒子從P點(diǎn)出發(fā)再回到P點(diǎn)所用的時(shí)間：t=t₁+t₂+t₃=$\frac{\sqrt{2}v}{g}+\frac{\sqrt{2}v}{g}+\frac{\sqrt{2}πv}{g}$=$\frac{\sqrt{2}v}{g}+\frac{\sqrt{2}v}{g}+\frac{\sqrt{2}πv}{2g}$=$\frac{（4\sqrt{2}+π\(zhòng)sqrt{2}）v}{2g}$．
（3）若粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)到某時(shí)刻時(shí)撤去磁場，如果粒子能連續(xù)兩次通過y軸上的某一點(diǎn)，則撤去磁場時(shí)，粒子運(yùn)動(dòng)的方向與電場力、重力合力的方向在同一條直線上，此時(shí)運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖2，
M到Q的時(shí)間是圓周的$\frac{1}{4}$
所以：${t}_{4}=\frac{1}{4}T=\frac{\sqrt{2}πv}{4g}$
由圖可知：$QD=2r=\frac{\sqrt{2}{v}^{2}}{g}$，
運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：${t}_{5}=\frac{QD}{v}=\frac{\sqrt{2}v}{g}$
由圖可知，粒子射入第一象限時(shí)，速度的方向與y軸的夾角是45°，所以粒子在第一象限中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：
${t}_{6}={t}_{1}=\frac{\sqrt{2}v}{g}$
粒子粒子從P點(diǎn)出發(fā)到第二次通過y軸所用時(shí)間：
t′=t₂+t₄+t₅+t₆=$\frac{v}{g}+\frac{\sqrt{2}πv}{4g}+\frac{\sqrt{2}v}{g}+\frac{\sqrt{2}v}{g}$=$（4+8\sqrt{2}+\sqrt{2}π）•\frac{v}{g}$．
答：（1）P點(diǎn)的坐標(biāo)是：（0，-$\frac{{v}^{2}}{g}$），磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小是$\frac{\sqrt{2}mg}{qv}$；
（2）粒子從P點(diǎn)出發(fā)再回到P點(diǎn)所用的時(shí)間是$\frac{（4\sqrt{2}+π\(zhòng)sqrt{2}）v}{2g}$；
（3）若粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)到某時(shí)刻時(shí)撤去磁場，如果粒子能連續(xù)兩次通過y軸上的某一點(diǎn)，求粒子從P點(diǎn)出發(fā)到第二次通過y軸所用時(shí)間是$（4+8\sqrt{2}+\sqrt{2}π）•\frac{v}{g}$．

點(diǎn)評 帶電粒子在電場、磁場中的運(yùn)動(dòng)要注意分析過程，并結(jié)合各過程中涉及到的運(yùn)動(dòng)規(guī)律采用合理的物理規(guī)律求解．