Question

9．如圖所示，長(zhǎng)為a寬為b的矩形區(qū)域內(nèi)（包括邊界）有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直紙面向外．0點(diǎn)有一粒子源，某時(shí)刻粒子源向磁場(chǎng)所在區(qū)域與磁場(chǎng)垂直的平面內(nèi)所有方向發(fā)射大量質(zhì)量為m電量為q的帶正電的粒子，粒子的速度大小相同，粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)，最先從磁場(chǎng)上邊界射出的粒子經(jīng)歷的時(shí)間為$\frac{T}{12}$，最后從磁場(chǎng)中飛出的粒子經(jīng)歷的時(shí)間為$\frac{T}{4}$，不計(jì)重力和粒子之間的相互作用，則（　�。�

• A． 粒子速度大小為$\frac{qBb}{m}$
• B． 粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為3b
• C． a的長(zhǎng)度為（$\sqrt{3}$+1）b
• D． 最后從磁場(chǎng)中飛出的粒子一定從上邊界的中點(diǎn)飛出

Answer 1

分析 根據(jù)左手定則可知，粒子在磁場(chǎng)中受到的洛倫茲力的方向向右，將向右偏轉(zhuǎn)，由運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)與運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間，即可判斷出偏轉(zhuǎn)的角度；然后由幾何關(guān)系求出粒子的半徑，洛倫茲力提供向心力求出粒子運(yùn)動(dòng)的速度．根據(jù)幾何關(guān)系，判斷出最后從磁場(chǎng)中飛出的粒子的軌跡，得出a的長(zhǎng)度以及粒子飛出磁場(chǎng)的位置．

解答 解：A、B、根據(jù)左手定則可知，粒子在磁場(chǎng)中受到的洛倫茲力的方向向右，將向右偏轉(zhuǎn)．結(jié)合運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)可知，粒子向上的分速度越大，則越早從上邊界飛出．所以最早從上邊界飛出的粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的方向是豎直向上的．
又由題最先從磁場(chǎng)上邊界射出的粒子經(jīng)歷的時(shí)間為$\frac{T}{12}$，根據(jù)：$\frac{t}{T}=\frac{θ}{360°}$，則粒子偏轉(zhuǎn)的角度：$θ=\frac{t}{T}×360=\frac{1}{12}×360=30°$．
做出這種情況下粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖1，由圖中幾何關(guān)系可知：$r=\frac{sin30°}=2b$

粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，即：$qvB=\frac{m{v}^{2}}{r}$
所以：$v=\frac{qBr}{m}=\frac{2qBb}{m}$．故A錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤；
C、D、粒子的入射的方向在90°的范圍以?xún)?nèi)，又r=2b，所以粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡不會(huì)超過(guò)半個(gè)圓，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間不超過(guò)半個(gè)周期，由$\frac{t}{T}=\frac{θ}{360°}$可知，軌跡的圓心角越大，則運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越長(zhǎng)，而圓心角越大，對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)越長(zhǎng)，所以粒子運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間的軌跡，弦長(zhǎng)也最長(zhǎng)．所以最后射出磁場(chǎng)的粒子一定是從磁場(chǎng)的右邊射出，最后從磁場(chǎng)中飛出的粒子經(jīng)歷的時(shí)間為$\frac{T}{4}$，畫(huà)出運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)軌跡如圖2，

則：$sinα=\frac{r-b}{r}=\frac{2b-b}{2b}=\frac{1}{2}$
所以：α=30°，β=90°-α=60°，
由于最后從磁場(chǎng)中飛出的粒子經(jīng)歷的時(shí)間為$\frac{T}{4}$，則偏轉(zhuǎn)角等于90°，γ=90°-β=30°
由幾何關(guān)系可得：$a=r•cosα+r•sinγ=2b•cos30°+2b•sin30°=（\sqrt{3}+1）b$．故C正確，D錯(cuò)誤．
故選：C

點(diǎn)評(píng) 該題考查帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的幾種臨界問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目的條件，正確畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，然后從運(yùn)動(dòng)的軌跡中確定臨界條件和幾何關(guān)系．