Question

8．如圖所示，截面為等腰梯形的物體固定在豎直面內(nèi)，梯形的底角為θ=60°，底邊的長(zhǎng)度為d，底面沿豎直方向，底邊的兩端分別固定著兩個(gè)相同的小滑輪，在斜面上停放質(zhì)量為5m的物塊，物塊通過(guò)一根跨過(guò)滑輪的輕繩與質(zhì)量為m的小球相連接．現(xiàn)將小球從C點(diǎn)由靜止開(kāi)始釋放，圖中A、B為小球通過(guò)的兩個(gè)位置，其中小球在A點(diǎn)的速度為零，B為運(yùn)動(dòng)過(guò)程的最低點(diǎn)．在此過(guò)程中，物塊始終保持靜止?fàn)顟B(tài)．已知小球在C點(diǎn)時(shí)繩與豎直方向間的夾角為α=60°，C點(diǎn)到頂端滑輪的距離L=3d，重力加速度大小為g，不計(jì)滑輪的質(zhì)量與大小，忽略繩與滑輪間的摩擦及空氣阻力，求：
（1）當(dāng)小球剛到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，物塊所受摩擦力；
（2）A、C兩點(diǎn)間的距離．

Answer 1

分析 （1）由機(jī)械能守恒求得在B處的速度，然后對(duì)小球應(yīng)用牛頓第二定律求得繩子拉力，再對(duì)物塊進(jìn)行受力分析，由受力平衡得到摩擦力；
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒得到A、C等高，然后根據(jù)幾何關(guān)系求得AC的距離．

解答 解：（1）小球從C到B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只有重力做功，故機(jī)械能守恒，所以有：$mgL（1-cosα）=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$；
那么，小球在B點(diǎn)時(shí)繩子的拉力為：$T=mg+\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{L}=mg+2mg（1-cosα）=2mg$；
故對(duì)物塊進(jìn)行受力分析，由受力平衡可得：當(dāng)小球剛到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，物塊所受摩擦力為：$f=5mgcosθ-T=\frac{1}{2}mg$，方向沿斜面向上；
（2）小球從C到A的過(guò)程只有重力做功，故機(jī)械能守恒，所以AC高度一致，設(shè)繩在A處時(shí)的偏角為β，那么有：Lcosα=d+（L-d）cosβ，所以，$cosβ=\frac{Lcosα-d}{L-d}=\frac{1}{4}$；
那么，$sinβ=\frac{\sqrt{15}}{4}$，A、C兩點(diǎn)間的距離為：${L}_{AC}=Lsinα+（L-d）sinβ=\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{15}}{2}d$；
答：（1）當(dāng)小球剛到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，物塊所受摩擦力為$\frac{1}{2}mg$，方向沿斜面向上；
（2）A、C兩點(diǎn)間的距離為$\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{15}}{2}d$．

點(diǎn)評(píng) 經(jīng)典力學(xué)問(wèn)題一般先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動(dòng)過(guò)程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動(dòng)能定理及幾何關(guān)系求解．