Question

如圖所示，有一足夠長的光滑平行金屬導(dǎo)軌，電阻不計，間距L=0.5m，導(dǎo)軌沿與水平方向成θ=30°傾斜放置，底部連接有一個阻值為R=3Ω的電阻．現(xiàn)將一根長也為L=0.5m質(zhì)量為m=0.2kg、電阻r=2Ω的均勻金屬棒，自軌道頂部靜止釋放后沿軌道自由滑下，下滑中均保持與軌道垂直并接觸良好，經(jīng)一段距離后進入一垂直軌道平面的勻強磁場中，如圖所示．磁場上部有邊界OP，下部無邊界，磁感應(yīng)強度B=2T．金屬棒進入磁場后又運動了一段距離便開始做勻速直線運動，在做勻速直線運動之前這段時間內(nèi)，金屬棒上產(chǎn)生了Q_r=2.4J的熱量，且通過電阻R上的電荷量為q=0.6C，取g=10m/s²．求：
（1）金屬棒勻速運動時的速v₀；
（2）金屬棒進入磁場后，當(dāng)速度v=6m/s時，其加速度a的大小及方向；
（3）磁場的上部邊界OP距導(dǎo)軌頂部的距離S．

Answer 1

分析：勻速運動時，金屬棒受到重力、支持力和安培力作用．安培力與速度有關(guān)，根據(jù)平衡條件可求出速度．根據(jù)牛頓第二定律求出加速度．金屬棒自軌道頂部靜止釋放后沿軌道自由滑下，其重力勢能轉(zhuǎn)化為動能和內(nèi)能，根據(jù)能量守恒定律求得距離S．

解答：解：（1）根據(jù)平衡條件得F_安=mgsinθ
          又F_安=BIL，I=

E

R+r

，E=BLv0
         得到F_安=

B2L2v0

R+r

         聯(lián)立解得
              v₀=

mg(R+r)sinθ

B2L2

=5m/s
      （2）由牛頓第二定律，得
             mgsinθ-F_安=ma
         得到a=gsinθ-

B2L2v

m(R+r)

=-1m/s2
         說明此時加速度大小為1m/s²，方向沿斜面向上．
    （3）由于金屬棒r和電阻R上電流時刻相同，由焦耳定律Q=I²Rt，得知Q∝R
         則R產(chǎn)生的熱量為Q_R=

R

r

Qr=3.6J
        金屬棒勻速運動整個電路產(chǎn)生的總熱量Q=Q_R+Q_r=6J
        在該過程中電路的平均電流為I=

E

R+r

=

△φ

△t(R+r)

        設(shè)勻速前金屬棒在磁場中位移為x，則此過程中通過R的電量為q=I?△t=

△φ

R+r

=

BLx

R+r

        從釋放到剛勻速運動過程中，由能量守恒定律得
                mgsinθ（S+x）=

1

2

m

v

2 0

+Q
       聯(lián)立上式，解得S=

m v 2 0 +2Q

2mgsinθ

-

q(R+r)

BL

=5.5m
答：（1）金屬棒勻速運動時的速v₀為5m/s；
（2）金屬棒進入磁場后，當(dāng)速度v=6m/s時，加速度大小為1m/s²，方向沿斜面向上；
（3）磁場的上部邊界OP距導(dǎo)軌頂部的距離S為5.5m．

點評：本題電磁感應(yīng)中的力學(xué)問題，電磁與力聯(lián)系橋梁是安培力，這種類問題在于安培力的分析和計算．涉及熱量常常從能量守恒研究．