Question

5．如圖所示，兩根足夠長且平行的光滑金屬導軌與水平面成53°固定放置，導軌間連接一阻值為4Ω的電阻R，導軌電阻忽略不計．在兩平行虛線L₁、L₂間有一與導軌所在平面垂直、磁感應強度為B的勻強磁場，磁場區(qū)域的寬度為d=0.5m．導體棒a的質(zhì)量為m_a=0.6kg，電阻R_a=4Ω；導體棒b的質(zhì)量為m_b=0.2kg，電阻R_b=12Ω；它們分別垂直導軌放置并始終與導軌接觸良好．現(xiàn)從圖中的M、N處同時將它們由靜止開始釋放，運動過程中它們都能勻速穿過磁場區(qū)域，當b剛穿出磁場時，a正好進入磁場（g取10m/s²，sin53°=0.8，且不計a、b之間電流的相互作用）．求：
（1）在整個過程中，a、b兩導體棒分別克服安培力做的功；
（2）在a穿越磁場的過程中，a、b兩導體棒上產(chǎn)生的焦耳熱之比；
（3）在穿越磁場的過程中，a、b兩導體棒勻速運動的速度大小之比；
（4）M點和N點之間的距離．

Answer 1

分析 兩個導體棒同時從光滑的斜導軌向下滑動，又分別勻速穿過已知寬度的勻強磁場區(qū)域，這也算是一個連接體問題．
（1）由于兩導體在磁場中勻速穿過，由平衡條件可以求出安培力大小，再由功的公式求出兩導體棒克服安培力做的功．
（2）在a穿越磁場的過程中，a是電源，b與R是外電路，根據(jù)并聯(lián)電路規(guī)律可得總電流（a棒）與b棒的電流之比，再由焦耳定律求出兩導體棒上產(chǎn)生的焦耳熱之比國．
（3）由于a、b兩棒穿過磁場區(qū)域時均勻速，由各自的平衡條件、切割產(chǎn)生感應電動勢公式、安培力公式等能夠求出a、b兩棒勻速運動的速度大小之比．這也同進為下一步計算作一個鋪墊．
（4）因為有一個偶然條件，當b離開磁場時，a剛好進入磁場，都是勻速直線運動．則a、b兩棒的速度有關系，再加上上一問所求速度之比，這樣兩棒的速度值可以求出，在斜面上勻加速直線運動的位移大小能夠求出，位移之差就是M、N兩點的距離．

解答 解：（1）根據(jù)在磁場中運動受力平衡得：F_安a=m_agsin53°．
      a棒克服安培力做的功為：W_a=m_agdsin53°=2.4J
      同理：W_b=m_bgdsin53°=0.8J
（2）在a穿越磁場的過程中，a是電源，b與R是外電路，由并聯(lián)規(guī)律有：
       I_a=I_b+I_R       I_bR_b=I_RR       ${I}_=\frac{{I}_{R}}{3}$
      所以：$\frac{{I}_{a}}{{I}_}=4$．
      由焦耳定律得：$\frac{{Q}_{a}}{{Q}_}=\frac{{{I}_{a}}^{2}{R}_{a}t}{{{I}_}^{2}{R}_t}={4}^{2}×\frac{4}{12}=\frac{16}{3}$．
（3）設b在磁場中勻速直線運動運動的速度為v_b，則有b中的電流${I}_=\frac{BL{v}_}{{R}_{總1}}$，電路的總電阻R_總1=14Ω
     根據(jù)受力平衡得：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_}{{R}_{總1}}=\\;{m}_gsin53°$m_bgsin53° 
     同理：a棒在磁場中勻速直線運動時R_總2=7Ω   
     根據(jù)受力平衡得：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{a}}{{R}_{總2}}={m}_{a}gsin53°$．
      可得：$\frac{{v}_{a}}{{v}_}=\frac{3}{2}$
（4）由題意得，當b在磁場中勻速運動時a繼續(xù)加速，
    對a棒有：v_a=v_b+gsin53°•t，
     對b棒：d=v_bt
    因為：${{v}_{a}}^{2}=2gsin53°•{S}_{a}$      ${{v}_}^{2}=2gsin53°•{S}_$
   可得M點、N點到時L₁的距離分別為：${S}_{a}=\frac{9}{8}m$，${S}_=\frac{1}{2}m$   
    所以：${S}_{MN}=\frac{5}{8}m$ 
答：（1）在整個過程中，a、b兩導體棒分別克服安培力做的功為2.4J 和0.8J．
（2）在a穿越磁場的過程中，a、b兩導體棒上產(chǎn)生的焦耳熱之比為$\frac{16}{3}$．
（3）在穿越磁場的過程中，a、b兩導體棒勻速運動的速度大小之比為$\frac{3}{2}$．
（4）M點和N點之間的距離為$\frac{5}{8}m$．

點評 畫龍點睛之筆在于最后兩問，a、b兩棒的速度，綜合了平衡條件、安培力、切割產(chǎn)生電動勢等公式；求M、N兩點間的距離，由于a、b的速度都是由于未進入磁場時在斜面上加速獲得，當b在磁場中勻速時，a在斜面上加速，對該過程列方程，能夠求出a、b的速度，從而a、b勻加速直線運動的位移能夠求出，兩者之差就是M、N兩點的距離．