Question

17．航天器升空可分為發(fā)射、運(yùn)行等幾個(gè)階段，已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度大小為g．
（1）航天器由大推力火箭發(fā)射升空，火箭發(fā)射塔高為h₁，火箭起飛時(shí)總質(zhì)量為m，火箭豎直推力大小恒為F，空氣阻力大小恒為f，若在火箭飛行過程中，不考慮火箭質(zhì)量的變化，火箭起飛后，求從起飛到飛離火箭發(fā)射塔所用的時(shí)間t₁．
（2）測(cè)得航天器經(jīng)時(shí)間t₂繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)飛行n圈，求航天器離地面的高度h₂．

Answer 1

分析 （1）由牛頓第二定律和勻變速直線運(yùn)動(dòng)位移公式可求航天器起飛到飛離火箭發(fā)射塔所用的時(shí)間；
（2）由題意求出航天器繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期，再由在地球表面物體的重力等于萬(wàn)有引力和萬(wàn)有引力提供向心力聯(lián)立求解航天器離地面的高度．

解答 解：（1）火箭起飛過程可看成是勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律可得：F-f-mg=ma
由位移公式x=$\frac{1}{2}$at²可得：h₁=$\frac{1}{2}$at₁²，
聯(lián)立解得：t₁=$\sqrt{\frac{2m{h}_{1}}{F-f-mg}}$
（2）航天器經(jīng)時(shí)間t₂繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)飛行n圈，則航天器繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為：T=$\frac{{t}_{2}}{n}$．
由萬(wàn)有引力提供向心力可得：G$\frac{Mm}{（R+{h}_{2}）^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$（R+h₂）
在地球表面物體的重力等于萬(wàn)有引力，則：mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
聯(lián)立解得：h₂=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{t}_{2}^{2}}{4{π}^{2}{n}^{2}}}-R$
答：（1）航天器從起飛到飛離火箭發(fā)射塔所用的時(shí)間為$\sqrt{\frac{2m{h}_{1}}{F-f-mg}}$；
（2）航天器離地面的高度為$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{t}_{2}^{2}}{4{π}^{2}{n}^{2}}}-R$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了牛頓第二定律、勻變速直線運(yùn)動(dòng)和萬(wàn)有引力定律在天體中的運(yùn)用，掌握好萬(wàn)有引力定律在天體中的運(yùn)用的兩條思路：萬(wàn)有引力提供向心力；在地球表面物體的重力等于萬(wàn)有引力．