Question

17．航天器升空可分為發(fā)射、運行等幾個階段，已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度大小為g．
（1）航天器由大推力火箭發(fā)射升空，火箭發(fā)射塔高為h₁，火箭起飛時總質(zhì)量為m，火箭豎直推力大小恒為F，空氣阻力大小恒為f，若在火箭飛行過程中，不考慮火箭質(zhì)量的變化，火箭起飛后，求從起飛到飛離火箭發(fā)射塔所用的時間t₁．
（2）測得航天器經(jīng)時間t₂繞地球做圓周運動飛行n圈，求航天器離地面的高度h₂．

Answer 1

分析 （1）由牛頓第二定律和勻變速直線運動位移公式可求航天器起飛到飛離火箭發(fā)射塔所用的時間；
（2）由題意求出航天器繞地球做圓周運動的周期，再由在地球表面物體的重力等于萬有引力和萬有引力提供向心力聯(lián)立求解航天器離地面的高度．

解答 解：（1）火箭起飛過程可看成是勻加速直線運動，由牛頓第二定律可得：F-f-mg=ma
由位移公式x=$\frac{1}{2}$at²可得：h₁=$\frac{1}{2}$at₁²，
聯(lián)立解得：t₁=$\sqrt{\frac{2m{h}_{1}}{F-f-mg}}$
（2）航天器經(jīng)時間t₂繞地球做圓周運動飛行n圈，則航天器繞地球做圓周運動的周期為：T=$\frac{{t}_{2}}{n}$．
由萬有引力提供向心力可得：G$\frac{Mm}{（R+{h}_{2}）^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$（R+h₂）
在地球表面物體的重力等于萬有引力，則：mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
聯(lián)立解得：h₂=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{t}_{2}^{2}}{4{π}^{2}{n}^{2}}}-R$
答：（1）航天器從起飛到飛離火箭發(fā)射塔所用的時間為$\sqrt{\frac{2m{h}_{1}}{F-f-mg}}$；
（2）航天器離地面的高度為$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{t}_{2}^{2}}{4{π}^{2}{n}^{2}}}-R$．

點評 本題綜合考查了牛頓第二定律、勻變速直線運動和萬有引力定律在天體中的運用，掌握好萬有引力定律在天體中的運用的兩條思路：萬有引力提供向心力；在地球表面物體的重力等于萬有引力．