Question

7．如圖所示，AB為豎直轉(zhuǎn)軸，細(xì)繩AC和BC的結(jié)點C系一質(zhì)量為m的小球，兩繩能承擔(dān)的最大拉力均為2mg，當(dāng)AC和BC均拉直時∠ABC=90°，∠ACB=53°，ABC能繞豎直軸AB勻速轉(zhuǎn)動，因而C球在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，求：
（1）當(dāng)m的線速度增大時，AC和BC（BC=1m）哪條繩先斷？繩斷時球速是多少？
（2）一條繩被拉斷后，m的速率繼續(xù)增加，另一條繩斷時球速是多少？（g取10m/s²）

Answer 1

分析 （1）當(dāng)小球線速度增大時，BC逐漸被拉直，小球線速度增至BC剛被拉直時，對小球進(jìn)行受力分析，合外力提供向心力，求出A繩的拉力，線速度再增大些，T_A不變而T_B增大，所以BC繩先斷；
（2）當(dāng)BC繩斷之后，小球線速度繼續(xù)增大，小球m作離心運動，AC繩與豎直方向的夾角α增大，對球進(jìn)行受力分析，根據(jù)合外力提供向心力列式求解．

解答 解：（1）當(dāng)小球線速度增大時，BC逐漸被拉直，小球線速度增至BC剛被拉直時，
對球：T_Asin∠ACB-mg=0…①
${T_A}cos∠ACB+{T_B}=m\frac{v^2}{r}$…②
由①可求得AC繩中的拉力${T_A}=\frac{5}{4}mg$，
線速度再增大些，T_A不變而T_B增大，所以BC繩先斷．
當(dāng)BC繩剛要斷時，拉力為2mg，
則：$\frac{5}{4}mgcos53°+2mg=\frac{m{v}^{2}}{r}$  ③
代入數(shù)據(jù)解得：v=5.24m/s
（2）繩子AC的長度：L=$\frac{BC}{cos53°}=\frac{5}{3}$m
當(dāng)BC繩斷之后，小球線速度繼續(xù)增大，小球m作離心運動，AC繩與豎直方向的夾角α增大，對球：T'_Acosα-mg=0…④
${T'_A}sinα=m\frac{v^2}{r'}$…⑤
可以求得當(dāng)α=60°時，T_AC=2mg，線速度再增大，則AC即斷． 
此時：$r′=L•cos30°=\frac{5\sqrt{3}}{6}$m
代入數(shù)據(jù)解得：v=6.35m/s．
答：（1）當(dāng)m的線速度增大時，BC（BC=1m）繩先斷，繩斷時球速是5.24m/s
（2）一條繩被拉斷后，m的速率繼續(xù)增加，另一條繩斷時球速是6.35m/s．

點評 解決本題的關(guān)鍵是搞清向心力的來源，運用牛頓第二定律進(jìn)行求解，難度適中．