Question

18．半徑為R的半圓形區(qū)域內(nèi)充滿勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向與半圓形區(qū)域垂直．在半圓形的圓心O處持續(xù)射出垂直磁場(chǎng)方向的一定速率范圍的電子，電子質(zhì)量為m，電量為e，出射方向與半圓直徑的夾角θ=45°，如圖（a）所示．控制電子速率，使其不能穿出半圓形的圓弧部分．

（1）在此條件下要使這些電子在磁場(chǎng)中達(dá)到的區(qū)域最大，請(qǐng)判斷磁場(chǎng)的方向（按圖說明是“垂直紙面向里”或“垂直紙面向外”）；
（2）在答題紙（a）圖上畫出滿足（1）條件下的電子經(jīng)過的所有區(qū)域（并用斜線表示）；
（3）若勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，在滿足（2）的條件下，求電子的速率范圍；
（4）若在圓心O處持續(xù)射入一定速率范圍的電子與半圓的直徑的夾角θ可以在0°到180°范圍連續(xù)可調(diào)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨電子的最大速率變化而變化，要使這些電子在磁場(chǎng)中達(dá)到的區(qū)域最大，電子的出射方向與半圓直徑的夾角應(yīng)為多大？在（b）圖上畫出電子的速率v與磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)滿足的v-B圖線，并在B軸上標(biāo)識(shí)出最大速度v_m時(shí)，對(duì)應(yīng)的B值．

Answer 1

分析 （1）電子在磁場(chǎng)中向左偏轉(zhuǎn)時(shí)，電子在磁場(chǎng)中到達(dá)的區(qū)域最大，由左手定則判斷磁場(chǎng)方向；
（2）電子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)電子運(yùn)動(dòng)軌跡作圖；
（3）洛倫茲力提供電子做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，由牛頓第二定律求出電子速率；
（4）電子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，分析清楚電子運(yùn)動(dòng)過程，應(yīng)用牛頓第二定律求出磁感應(yīng)強(qiáng)度，然后答題．

解答 解：（1）要使這些電子在磁場(chǎng)中能達(dá)到的區(qū)域大，電子必須逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，
根據(jù)左右定則可知，磁場(chǎng)方向?yàn)榇怪奔埫嫦蛲猓?nbsp;
（2）電子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，電子在磁場(chǎng)中到達(dá)的區(qū)域最大，
電子應(yīng)沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，電子經(jīng)過的區(qū)域如圖所示：

（3）最大速率的電子運(yùn)動(dòng)的軌跡恰好與半圓形磁場(chǎng)區(qū)域的圓弧部分相切，
如上圖所示，由幾何知識(shí)可知，其軌跡半徑：r=$\frac{1}{2}$R，
洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：
ev_mB=m$\frac{{v}_{m}^{2}}{r}$，解得：v_m=$\frac{eBR}{2m}$，
所以電子的速率范圍是：0≤v≤$\frac{eBR}{2m}$；
（4）當(dāng)電子運(yùn)動(dòng)的軌跡恰好與半圓形磁場(chǎng)區(qū)域的圓弧頂部相切時(shí)，
這些電子在磁場(chǎng)中達(dá)到的區(qū)域最大，此時(shí)，軌跡圓心在O點(diǎn)正上方$\frac{1}{2}$R處，
電子的出射方向與半圓直徑的夾角為0°．
電子在磁場(chǎng)中達(dá)到的區(qū)域如圖（c）所示：


由牛頓第二定律得：evB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
可得電子的速率v與磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)滿足的關(guān)系式：v=$\frac{eR}{2m}$B，
由于e、R、m均為常數(shù)，所以電子的速率v與磁感應(yīng)強(qiáng)度B成正比，圖線如圖（b）所示：

答：（1）要使這些電子在磁場(chǎng)中達(dá)到的區(qū)域最大，磁場(chǎng)的方向：垂直紙面向外；
（2）如圖所示；
（3）若勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，在滿足（2）的條件下，電子的速率范圍是：0≤v≤$\frac{eBR}{2m}$；
（4）要使這些電子在磁場(chǎng)中達(dá)到的區(qū)域最大，電子的出射方向與半圓直徑的夾角應(yīng)為0°，如圖所示．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，分析清楚電子運(yùn)動(dòng)過程、應(yīng)用左手定則是解題的關(guān)鍵，分析清楚電子運(yùn)動(dòng)過程后作出電子運(yùn)動(dòng)軌跡，應(yīng)用牛頓第二定律可以解題．