Question

4．如圖所示，虛線MO與水平線PQ相交于O點，夾角θ=30°，在MO左側(cè)存在電場強度為E、方向豎直向下的勻強電場；MO右側(cè)某個區(qū)域存在磁感應強度為B、垂直紙面向里的勻強磁場，且O點在磁場的邊界上．現(xiàn)有大量質(zhì)量為m、電量為+q的帶電粒子在紙面內(nèi)以速度v（0＜v≤$\frac{E}{B}$）垂直于MO從O點射入磁場，所有粒子通過直線MO時，速度方向均平行于PQ向左．不計粒子的重力及粒子間的相互作用．求：
（1）速度最大的粒子從O點運動至水平線PQ所需的時間；
（2）磁場區(qū)域的最小面積．

Answer 1

分析 （1）粒子的運動軌跡如圖所示，設粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動的半徑為R，周期為T，先求出粒子在勻強磁場中運動時間，粒子自N點水平飛出磁場，出磁場后應做勻速運動至OM，根據(jù)幾何關(guān)系及速度時間公式求出時間，過MO后粒子做類平拋運動，根據(jù)平拋運動的基本公式求出此過程中的時間，三段時間之和即為總時間；
（2）由題知速度大小不同的粒子均要水平通過OM，則其飛出磁場的位置均應在ON的連線上，故磁場范圍的最小面積△S是速度最大的粒子在磁場中的軌跡與ON所圍成的面積．

解答 解：（1）粒子的運動軌跡如圖所示，設粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動的半徑為R，周期為T，粒子在勻強磁場中運動時間為t₁，

由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：R=$\frac{mv}{qB}$，
T=$\frac{2πm}{qB}$，t₁=$\frac{1}{3}$T，
設粒子自N點水平飛出磁場，出磁場后應做勻速運動至OM，設勻速運動的距離為s，勻速運動的時間為t₂，由幾何關(guān)系知：
s=$\frac{R}{tanθ}$，
t₂=$\frac{s}{v}$，
過MO后粒子做類平拋運動，設運動的時間為t₃，則：
$\frac{3}{2}$R=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t₃²，
又由題知：v=$\frac{E}{B}$，
則速度最大的粒子自O進入磁場至重回水平線POQ所用的時間為：
t=t₁+t₂+t₃=$\frac{2（3\sqrt{3}+π）m}{3qB}$；
（2）由題知速度大小不同的粒子均要水平通過OM，則其飛出磁場的位置均應在ON的連線上，故磁場范圍的最小面積△S是速度最大的粒子在磁場中的軌跡與ON所圍成的面積，扇形OO′N的面積的面積S=$\frac{1}{3}$πR²，
△OO′N的面積為：S′=R²cos30°sin30°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$R²，
△S=S-S′
解得：△S=$（\frac{π}{3}-\frac{{\sqrt{3}}}{4}）\frac{{{m^2}{E^2}}}{{{q^2}{B^4}}}$；
答：（1）速度最大的粒子從O開始射入磁場至返回水平線POQ所用的時間為$\frac{2（3\sqrt{3}+π）m}{3qB}$．
（2）磁場區(qū)域的最小面積為$（\frac{π}{3}-\frac{{\sqrt{3}}}{4}）\frac{{{m^2}{E^2}}}{{{q^2}{B^4}}}$．

點評 做好此類題目的關(guān)鍵是準確的畫出粒子運動的軌跡圖，利用幾何知識求出粒子運動的半徑，再結(jié)合半徑公式和周期公式去分析．