Question

19．為了研究過山車的原理，某物理小組提出了下列的設想：取一個與水平方向夾角為θ=53°，長為S=2.5m的傾斜軌道AB，通過微小圓弧與長為L=3.4m的水平軌道BC相連，然后在C處設計一個豎直完整的光滑圓軌道，出口為水平軌道D，如圖所示．現(xiàn)將一個小球從距A點高為h=0.8m的水平臺面上以一定的初速度v₀水平彈出，到A點時速度v_A方向恰沿AB方向，并沿傾斜軌道滑下．已知小球與AB和BC間的動摩擦因數(shù)均為μ=0.5．（sin53°=0.8  cos53°=0.6，取g=10m/s²）．試求：
（1）小球到A點時速度v_A的大小
（2）小球滑過C點時的速率v_C
（3）要使小球恰好做完整圓周運動，求圓軌道的半徑R．

Answer 1

分析 （1）小球從離開彈簧到A的過程做平拋運動，由高度h求出小球到A點時豎直分速度，由速度的分解求出小球到A點時速度v_A和平拋運動的初速度v₀．
（2）小球從A到C的過程，由動能定理列出公式即可求出C點的速度v_C；
（3）小球恰好做完整圓周運動時，通過豎直圓軌道最高點時，由重力提供向心力，由牛頓第二定律和向心力知識求出到最高點的速度，再由動能定理求解軌道半徑R．

解答 解：（1）小球做平拋運動時，有：v_y²=2gh
代入數(shù)據(jù)解得：v_y=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×0.8}$=4m/s
小球到A點時速度 v_A=$\frac{{v}_{y}}{sin53°}$=$\frac{4}{0.8}$=5m/s
（2）小球從A到C點的過程中，由動能定理得：
   mgSsinθ-μmgScosθ-μmgL=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：v_C=6m/s
（3）小球剛剛過圓軌道最高點時，由重力提供向心力，則：
   mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
從C到圓軌道最高點的過程，由機械能守恒定律得
   $\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$=2mgR+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得 R=0.72 m
答：
（1）小球到A點時速度v_A的大小是5m/s．
（2）小球滑過C點時的速率v_C是6m/s．
（3）要使小球恰好做完整圓周運動，圓軌道的半徑R是0.72m．

點評 明確研究對象的運動過程是解決問題的前提，要把握每個過程和狀態(tài)的物理規(guī)律，如平拋運動研究的方法：運動的分解法，要抓住圓周運動最高點的臨界條件：重力等于向心力．