Question

15．某行星半徑為R，以其第一宇宙速度運行的衛(wèi)星繞該行星的周期為T，如果在該行星上發(fā)射一顆同步衛(wèi)星，并在其同步軌道上以速度v作勻速圓周運動時，可以與該行星自轉(zhuǎn)同步．則同步衛(wèi)星的軌道半徑為？該行星的自轉(zhuǎn)周期為？

Answer 1

分析 研究同步衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式．研究近地衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式．
兩個等式進(jìn)行對比，求出同步衛(wèi)星的軌道半徑．

解答 解：對同步衛(wèi)星，由萬有引力提供向心力得：
$G\frac{mM}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$     ①
同理對近地衛(wèi)星有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$   ②
由①②兩式解得：r=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{{v}^{2}{T}^{2}}$
由于同步衛(wèi)星周期與自轉(zhuǎn)周期相同，故T_自=T_同=$\frac{2πr}{v}$=$\frac{8{π}^{3}{R}^{3}}{{v}^{3}{T}^{2}}$
答：同步衛(wèi)星的軌道半徑為$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{{v}^{2}{T}^{2}}$，該行星的自轉(zhuǎn)周期為$\frac{8{π}^{3}{R}^{3}}{{v}^{3}{T}^{2}}$．

點評 向心力的公式選取要根據(jù)題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應(yīng)用．知道同步衛(wèi)星的周期必須與行星自轉(zhuǎn)周期相同．