Question

14．我國的月球探測計劃“嫦娥工程”分為“繞、落、回”三步．“嫦娥三號”的任務(wù)是“落”．2013年12月2日，“嫦娥三號”發(fā)射，經(jīng)過中途軌道修正和近月制動之后，“嫦娥三號”探測器進入繞月的圓形軌道I．12月12日衛(wèi)星成功變軌，進入遠(yuǎn)月點P、近月點Q的橢圓形軌道II，如圖所示． 2013年12月14日，“嫦娥三號”探測器在Q點附近制動，由大功率發(fā)動機減速，以拋物線路徑下降到距月面100米高處進行30s懸停避障，之后再緩慢豎直下降到距月面高度僅為數(shù)米處，為避免激起更多月塵，關(guān)閉發(fā)動機，做自由落體運動，落到月球表面．
已知引力常量為G，月球的質(zhì)量為M，月球的半徑為R，“嫦娥三號”在軌道I上運動時的質(zhì)量為m，P、Q點距月球表面的高度分別為h₁、h₂．
（1）求“嫦娥三號”在圓形軌道I上運動的速度大��；
（2）已知“嫦娥三號”與月心的距離為r時，引力勢能為$Ep=-\frac{GMm}{r}$（取無窮遠(yuǎn)處引力勢能為零），其中m為此時“嫦娥三號”的質(zhì)量．若“嫦娥三號”在軌道II上運動的過程中，動能和引力勢能相互轉(zhuǎn)化，它們的總量保持不變．已知“嫦娥三號”經(jīng)過Q點的速度大小為v，請根據(jù)能量守恒定律求它經(jīng)過P點時的速度大�。�

Answer 1

分析 （1）在軌道I上圓周運動時，萬有引力提供圓周運動向心力，據(jù)此求得衛(wèi)星的線速度大�。�
（2））根據(jù)機械能守恒由引力勢能的表達(dá)式，求得衛(wèi)星在P點的動能，由動能求得速度大��；

解答 解：（1）“嫦娥三號”在軌道I上運動的過程中萬有引力提供圓周運動向心力有：
$G\frac{Mm}{{{{（R+{h_1}）}^2}}}=m\frac{v_1^2}{{R+{h_1}}}$
解得：v₁=$\sqrt{\frac{GM}{{R+{h_1}}}}$
（2）“嫦娥三號”在軌道II上運動的過程中，由機械能守恒定律：
$-\frac{GMm′}{R+{h}_{1}}+\frac{1}{2}m′{v}_{p}^{′2}=\frac{GMm′}{R+{h}_{2}}+\frac{1}{2}m′{v}^{2}$
據(jù)此解得：
${v}_{p}^{′}$=$\sqrt{{v^2}-\frac{2GM}{{R+{h_2}}}+\frac{2GM}{{R+{h_1}}}}$
答：（1）“嫦娥三號”在圓形軌道I上運動的速度大小為$\sqrt{\frac{GM}{{R+{h_1}}}}$；
（2）它經(jīng)過P點時的速度大小為$\sqrt{{v^2}-\frac{2GM}{{R+{h_2}}}+\frac{2GM}{{R+{h_1}}}}$．

點評 根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力，求得衛(wèi)星的速度，衛(wèi)星由Q向P運動過程中只受月球引力作用，滿足機械能守恒．