Question

3．電視機(jī)的顯像管中電子束的偏轉(zhuǎn)是應(yīng)用磁偏轉(zhuǎn)技術(shù)實(shí)現(xiàn)的．如圖1所示為顯像管的原理示意圖．顯像管中有一個(gè)電子槍，工作時(shí)陰極發(fā)射的電子（速度很小，可視為零）經(jīng)過加速電場加速后，穿過以O(shè)點(diǎn)為圓心、半徑為r的圓形磁場區(qū)域（磁場方向垂直于紙面），撞擊到熒光屏上使熒光屏發(fā)光．
已知電子質(zhì)量為m、電荷量為e，加速電場的電壓為U，在沒有磁場時(shí)電子束通過O點(diǎn)打在熒光屏正中央的M點(diǎn)，OM間距離為S．電子所受的重力、電子間的相互作用力均可忽略不計(jì)，也不考慮磁場變化所激發(fā)的電場對(duì)電子束的作用．由于電子經(jīng)過加速電場后速度很大，同一電子在穿過磁場的過程中可認(rèn)為磁場不變．

（1）求電子束經(jīng)偏轉(zhuǎn)磁場后打到熒光屏上時(shí)的速率；
（2）若磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間變化關(guān)系如圖2所示，其中B₀=$\frac{1}{3r}$$\sqrt{\frac{6mU}{e}}$，求電子束打在熒光屏上發(fā)光所形成的“亮線”長度．
（3）若其它條件不變，只撤去磁場，利用電場使電子束發(fā)生偏轉(zhuǎn)．把正弦交變電壓加在一對(duì)水平放置的矩形平行板電極上，板間區(qū)域有邊界理想的勻強(qiáng)電場．電場中心仍位于O點(diǎn)，電場方向垂直于OM，為了使電子束打在熒光屏上發(fā)光所形成的“亮線”長度與（2）中相同，問：極板間正弦交變電壓的最大值U_m，極板長度L、極板間距離d之間需要滿足什么關(guān)系？（由于電子的速度很大，交變電壓周期較大，同一電子穿過電場的過程可認(rèn)為電場沒有變化，是穩(wěn)定的勻強(qiáng)電場）

Answer 1

分析 （1）因?yàn)榱Ｗ釉诖艌鲋羞\(yùn)動(dòng)洛倫茲力不做功，所以根據(jù)動(dòng)能定理求出電子射出加速電場時(shí)的速度大小，即為電子束經(jīng)偏轉(zhuǎn)磁場后打到熒光屏上時(shí)的速率；
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，出磁場后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，通過最大的偏轉(zhuǎn)角，結(jié)合幾何關(guān)系求出熒光屏上亮線的長度；
（2）類平拋運(yùn)動(dòng)利用運(yùn)動(dòng)的合成和分解，結(jié)合電場中牛頓第二定律，根據(jù)速度偏向角的幾何關(guān)系，聯(lián)立即可求出極板間正弦交變電壓的最大值U_m，極板長度L、極板間距離d之間需要滿足的關(guān)系式．

解答 解：（1）設(shè)經(jīng)過電子槍中加速電場加速后，電子的速度大小為v
根據(jù)動(dòng)能定理可得：eU=$\frac{1}{2}$mv²
電子束經(jīng)過磁場區(qū)域速度大小不變，電子束打在熒光屏上速率為v=$\sqrt{\frac{2eU}{m}}$
（2）設(shè)電子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示

根據(jù)幾何關(guān)系有：$tan\frac{θ}{2}=\frac{r}{R}$
洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律有
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
當(dāng)B₀=$\frac{1}{3r}\sqrt{\frac{6mU}{e}}$時(shí)，電子束經(jīng)過磁場偏轉(zhuǎn)角為θ，此時(shí)電子在熒光屏上的落點(diǎn)距M點(diǎn)最遠(yuǎn)
解得θ=60°
電子在熒光屏上落點(diǎn)距M點(diǎn)最遠(yuǎn)距離y=Stanθ=$\sqrt{3}S$
熒光屏上亮線長度Y=2y=2$\sqrt{3}$S
（3）若使電子束打在熒光屏上所形成亮線的長度與磁場中偏轉(zhuǎn)時(shí)相同，則電子束的最大偏轉(zhuǎn)角θ=60°保持不變，即：tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$=60°
當(dāng)電子達(dá)到最大偏轉(zhuǎn)角時(shí)，恰好從極板邊緣射出．

這種情況下，$\frac{\fract49qzxb{2}}{L}$=$\frac{\frac{{v}_{y}}{2}t}{{v}_{x}t}$，即：d=$\sqrt{3}$L
設(shè)此時(shí)兩極板間電壓為U₁，
由牛頓第二定律有：a_y=$\frac{eE}{m}$=$\frac{e{U}_{1}}{md}$
由勻加速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律有：${v}_{y}^{2}=2{a}_{y}\fracgfywaom{2}$
且：v_x=$\sqrt{\frac{2eU}{m}}$
聯(lián)立解得：U₁=6U
當(dāng)極板間電壓再大時(shí)，電子不能從極板邊界射出，
故不會(huì)形成亮線，因此：U_m≥6U
當(dāng)電子達(dá)到最大偏轉(zhuǎn)角時(shí)，不是從極板邊界射出，
即：d＞$\sqrt{3}$L，此時(shí)兩極板間電壓達(dá)到U_m（電壓再增大，電子偏轉(zhuǎn)角增加，亮線長度增加）
由牛頓第二定律有：a_y′=$\frac{eE}{m}$=$\frac{e{U}_{m}}{md}$
由勻加速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律有：v_y=a_y′t，t=$\frac{L}{{v}_{x}}$
聯(lián)立解得：U_m=$\frac{2\sqrt{3}d}{L}U$
答：（1）電子束經(jīng)偏轉(zhuǎn)磁場后打到熒光屏上時(shí)的速率為$\sqrt{\frac{2eU}{m}}$；
（2）若磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間變化關(guān)系如圖2所示，其中B₀=$\frac{1}{3r}$$\sqrt{\frac{6mU}{e}}$，電子束打在熒光屏上發(fā)光所形成的“亮線”長度為2$\sqrt{3}$S．
（3）極板間正弦交變電壓的最大值U_m，極板長度L、極板間距離d之間需要滿足U_m=$\frac{2\sqrt{3}d}{L}U$．

點(diǎn)評(píng) 考查電子在復(fù)合場中的運(yùn)動(dòng)，加速電場應(yīng)用動(dòng)能定理；電子在磁場中，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用牛頓第二定律求出半徑表達(dá)式；同時(shí)運(yùn)用幾何關(guān)系來確定半徑與已知長度的關(guān)系，第（3）問求關(guān)系式得問題可以把L和d當(dāng)成已知，去求解U_m即可．