Question

【題目】如圖,一輕彈簧原長(zhǎng)為2R,其一端固定在傾角為37°的固定直軌道AC的底端A處,另一端位于直軌道上B處,彈簧處于自然狀態(tài),直軌道與一半徑為的光滑圓弧軌道相切于C點(diǎn),AC=7R,A、B、C、D均在同一豎直平面內(nèi)。質(zhì)量為m的小物塊P自C點(diǎn)由靜止開(kāi)始下滑,最低到達(dá)E點(diǎn)(未畫出)。隨后P沿軌道被彈回,最高到達(dá)F點(diǎn),AF=4R。已知P與直軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù),重力加速度大小為g。(取)

(1)求P第一次運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)速度的大小。

(2)求P運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能。

(3)改變物塊P的質(zhì)量,將P推至E點(diǎn),從靜止開(kāi)始釋放。已知P自圓弧軌道的最高點(diǎn)D處水平飛出后,恰好通過(guò)G點(diǎn)。G點(diǎn)在C點(diǎn)左下方,與C點(diǎn)水平相距、豎直相距R,求P運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)速度的大小和改變后P的質(zhì)量。

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

【解析】

(1)對(duì)物體從C到B的過(guò)程分析，由動(dòng)能定理列式可求得物體到達(dá)B點(diǎn)的速度；

(2)同(1)的方法求出物塊返回B點(diǎn)的速度，然后對(duì)壓縮的過(guò)程與彈簧伸長(zhǎng)的過(guò)程應(yīng)用功能關(guān)系即可求出；

(3)P離開(kāi)D點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，將物塊的運(yùn)動(dòng)分解即可求出物塊在D點(diǎn)的速度，E到D的過(guò)程中重力、彈簧的彈力、斜面的阻力做功，由功能關(guān)系即可求出物塊P的質(zhì)量。

(1) C到B的過(guò)程中重力和斜面的阻力做功，所以：

其中：

代入數(shù)據(jù)解得：

(2) 物塊返回B點(diǎn)后向上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中：

其中

聯(lián)立解得：

物塊P向下到達(dá)最低點(diǎn)又返回的過(guò)程中只有摩擦力做功，設(shè)最大壓縮量為x，則：

整理得：x=R

物塊向下壓縮彈簧的過(guò)程設(shè)克服彈力做功為W，則：

mgxsin37°μmgcos37°xW＝0

又由于彈簧增加的彈性勢(shì)能等于物塊克服彈力做的功，即：EP=W

所以：EP=2.4mgR；

(3) 由幾何關(guān)系可知圖中D點(diǎn)相對(duì)于C點(diǎn)的高度：

h=r+rcos37°=1.8r=1.8×

所以D點(diǎn)相對(duì)于G點(diǎn)的高度：H=1.5R+R=2.5R

小球做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：

G點(diǎn)到D點(diǎn)的水平距離：L=

由：L=vDt

聯(lián)立解得：

E到D的過(guò)程中重力、彈簧的彈力、斜面的阻力做功，由功能關(guān)系得：

聯(lián)立解得：。