Question

9．如圖甲所示，在豎直平面內(nèi)有一個(gè)直角三角形斜面體，傾角θ為30°，斜邊長(zhǎng)為x₀．斜面頂部安裝一個(gè)小的定滑輪，跨過定滑輪細(xì)繩連接兩個(gè)物體A、B（均可視為質(zhì)點(diǎn)），其質(zhì)量分別為m₁、m₂，m₁與斜面摩擦因數(shù)為$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，滑輪摩擦不計(jì)．開始時(shí)A處于斜面最頂部O點(diǎn)，并取斜面底面所處的水平面為零重力勢(shì)能面；B物體距離零勢(shì)能面的距離為$\frac{x_0}{2}$．現(xiàn)對(duì)A物體施加一個(gè)平行斜面斜向下的恒力F，使A物體由靜止起沿斜面向下運(yùn)動(dòng)．在B物體豎直上升過程中，B物體的機(jī)械能隨上升高度h的變化規(guī)律如圖乙，則結(jié)合圖象可求：

（1）B物體最初的機(jī)械能E₁；
（2）B物體上升x₀時(shí)的機(jī)械能E₂；
（3）恒力F的大�。�

Answer 1

分析 （1）、（2）物體具有的機(jī)械能等于物體的動(dòng)能與勢(shì)能之和，利用圖象信息即可求得機(jī)械能．
（3）利用機(jī)械能的概念求出上升x₀時(shí)B物體的速度，再以AB組成的系統(tǒng)，再利用動(dòng)能定理即可求得恒力的大�。�

解答 解：（1）B物體最初的機(jī)械能 ${E_1}={E_{K1}}+{E_{P1}}=0+（-{m_2}g\frac{x_0}{2}）=-\frac{1}{2}{m_2}g{x_0}$
（2）由圖象中幾何關(guān)系知，B物體上升x₀時(shí)的機(jī)械能為 ${E_2}=3|{E_1}|=\frac{3}{2}{m_2}g{x_0}$
（3）上升x₀時(shí)B物體的動(dòng)能 ${E_{K2}}={E_2}-E_{P2}^{\;}=\frac{3}{2}{m_2}g{x_0}-{m_2}g\frac{x_0}{2}={m_2}g{x_0}=\frac{1}{2}{m_2}{v^2}$
上升x₀時(shí)B物體的速度 $v=\sqrt{2g{x_0}}$
A、B運(yùn)動(dòng)過程中，由動(dòng)能定理：$F{x_0}+{m_1}gsinθ{x_0}-μ{m_1}gcosθ{x_0}-{m_2}g{x_0}=\frac{1}{2}（{m_1}+{m_2}）{v^2}$
可得 $F=2{m_2}g+\frac{3}{4}{m_1}g$
答：
（1）B質(zhì)點(diǎn)最初的機(jī)械能E₁為-$\frac{1}{2}$m₂gx₀．
（2）上升x₀時(shí)B物體的機(jī)械能E₂為$\frac{3}{2}$m₂gx₀．
（2）恒力F的大小為（2m₂g+$\frac{3}{4}{m}_{1}g$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了動(dòng)能定理與運(yùn)動(dòng)學(xué)及牛頓第二定律的綜合運(yùn)用，利用好圖象信息是解題的關(guān)鍵．