Question

15．一均勻球體以角速度ω繞自己的對稱軸自轉，若維持球體不被瓦解的唯一作用力是萬有引力，則此球的最小密度是多少？

Answer 1

分析 球體表面物體隨球體自轉做勻速圓周運動，球體有最小密度能維持該球體的穩(wěn)定，不致因自轉而瓦解的條件是表面的物體受到的球體的萬有引力恰好提供向心力，物體的向心力用周期表示等于萬有引力，再結合球體的體積公式、密度公式即可求出球體的最小密度．

解答 解：設位于赤道處的小物塊的質量為m，物體受到的球體的萬有引力恰好提供向心力，
這時球體不瓦解且有最小密度，
由萬有引力定律結合牛頓第二定律得：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m{ω}^{2}R$
又$M=ρ\frac{4}{3}π{R}^{3}$
兩式聯(lián)立求解得：$ρ=\frac{3{ω}^{2}}{4πG}$
答：此球的最小密度為$\frac{3{ω}^{2}}{4πG}$．

點評 該題考查了萬有引力公式及向心力基本公式的直接應用，難度不大，屬于基礎題