Question

4．現(xiàn)代科學(xué)儀器常利用電場(chǎng)、磁場(chǎng)控制帶電粒子的運(yùn)動(dòng)，真空中存在著如圖所示的多層緊密相鄰的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電場(chǎng)與磁場(chǎng)的寬度均為d，電場(chǎng)強(qiáng)度為E，方向水平向右；磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里．電場(chǎng)、磁場(chǎng)的邊界互相平行且與電場(chǎng)方向垂直．一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子在第1層電場(chǎng)左側(cè)邊界某處由靜止釋放，粒子始終在電場(chǎng)、磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，不計(jì)粒子重力及運(yùn)動(dòng)時(shí)的電磁輻射．

（1）求粒子在第2層磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)速度v₂的大小與軌跡半徑r₂；
（2）粒子從第n層磁場(chǎng)右側(cè)邊界穿出時(shí)，速度的方向與水平方向的夾角為θ_n，試求sinθ_n；
（3）若粒子恰好不能從第n層磁場(chǎng)右側(cè)邊界穿出，試問(wèn)在其他條件不變的情況下，也進(jìn)入第n層磁場(chǎng)，但比荷較該粒子大的粒子能否穿出該層磁場(chǎng)右側(cè)邊界，請(qǐng)簡(jiǎn)要推理說(shuō)明之．

Answer 1

分析 （1）粒子在混合場(chǎng)中加速，由動(dòng)能定理可求得進(jìn)入第2層時(shí)的速度；再由洛侖茲力充當(dāng)向心力可求得半徑；
（2）根據(jù)電場(chǎng)力做功可明確速渡，再根據(jù)洛侖茲力充當(dāng)向心力找出第n層中的半徑關(guān)系，由數(shù)學(xué)規(guī)律可得出通項(xiàng)式，即可求出sinθ_n；
（3）根據(jù)題意進(jìn)行假設(shè)，通過(guò)討論明確增大比荷能否使粒子飛出右側(cè)磁場(chǎng)．

解答 解：（1）粒子在進(jìn)入第2層磁場(chǎng)時(shí)，經(jīng)過(guò)兩次加速，中間穿過(guò)磁場(chǎng)時(shí)洛侖茲力不做功；由動(dòng)能定理可得：
2qEd=$\frac{1}{2}$mv₂²
解得：v₂=2$\sqrt{\frac{qEd}{m}}$；
粒子在第2層磁場(chǎng)中受到的洛侖茲力充當(dāng)向心力，有：
qv₂B=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{{r}_{2}}$
解得：r₂=$\frac{2}{B}$$\sqrt{\frac{mEd}{q}}$；
（2）設(shè)粒子在第n層磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速度為v_n，軌跡半徑為r_n；
則有：
nqEd=$\frac{1}{2}$mv_n²
qv_nB=m$\frac{{v}_{n}^{2}}{{r}_{n}}$；
粒子進(jìn)入第n層磁場(chǎng)時(shí)，速度的方向與水平方向的夾角為α_n，從第n層磁場(chǎng)右側(cè)邊界穿出時(shí)速度方向與水平方向的夾角為θ_n，粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，垂直于電場(chǎng)線方向的速度分量不變，有：
v_n-1sinθ_n-1=v_nsinα_n
如圖所示：
r_nsinθ_n-r_nsinα_n=d；
由以上三式可得：
r_nsinθ_n-r_n-1sinθ_n-1=d；
則可知，r₁sinθ₁、r₂sinθ₂、r₃sinθ₃、…r_nsinθ_n為一組等差數(shù)列，公差為d，可得：
r_nsinθ_n=r₁sinθ₁+（n-1）d；
當(dāng)n=1時(shí)，由圖2可知：
r₁sinθ₁=d
則可得：
sinθ_n=B$\sqrt{\frac{nqd}{2mE}}$
（3）若粒子恰好不能從第n層磁場(chǎng)右側(cè)邊界穿出，則有：
θ_n=$\frac{π}{2}$
sinθ_n=1；
在其他條件不變的情況下，換用比荷更大的粒子，設(shè)其比荷為$\frac{q′}{m′}$，假設(shè)能穿出第n層磁場(chǎng)右側(cè)邊界，粒子穿出時(shí)速度方向與水平方向的夾角為θ_n′．由于$\frac{q′}{m′}$＞$\frac{q}{m}$，則導(dǎo)致
sinθ_n′＞1
設(shè)明θn′不存在，即假設(shè)不成立，所以比荷較該粒子大的粒子不能穿出該層磁場(chǎng)右側(cè)邊界．
答：（1）粒子在第2層磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)速度v₂的大小為2$\sqrt{\frac{qEd}{m}}$；軌跡半徑r₂為$\frac{2}{B}$$\sqrt{\frac{mEd}{q}}$
（2）粒子從第n層磁場(chǎng)右側(cè)邊界穿出時(shí)，速度的方向與水平方向的夾角為θ_n，sinθ_n為B$\sqrt{\frac{nqd}{2mE}}$
（3）比荷較大的粒子不能飛出右側(cè)邊界．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，屬于高考的壓軸題，要求學(xué)生能正確分析物理過(guò)程，并能靈活應(yīng)用物理學(xué)中相應(yīng)的規(guī)律；同時(shí)還要注意掌握數(shù)學(xué)知識(shí)在物理學(xué)中的應(yīng)用；該類問(wèn)題的難度較大，對(duì)學(xué)生綜合能力要求極高．